Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
, portanto a integral é imprópria por causa dos extremos e . - É necessário verificar convergência e então calcular o valor numérico da integral.
Passo 2
Verificar a convergência da integral, dividindo o intervalo em
e
.
Comportamento em
: para
próximo de
tem-se
, então
Sabe-se que a integral
converge (é finita), pois
Logo
converge.
Comportamento em
: para
grande tem-se
, então
A integral
converge (pode-se calcular por partes). Para registro, calculemos:
Escolhendo ,
dá
,
. Assim
Escolhendo
portanto finita. Assim
converge também.
Conclusão deste passo: a integral imprópria
converge (na verdade é absolutamente integrável nas duas extremidades por comparação), então podemos manipular a integral com as operações usuais (troca de variáveis, soma de partes, etc.).
Passo 3
Aplicar a substituição
para relacionar a integral consigo mesma. Seja
Fazendo
temos
. Quando
percorre
a
,
percorre
a
. Portanto
Eliminando o sinal da inversão dos limites e simplificando:
e
então
Isto é,
Como a variável de integração é dummy, a integral no membro direito é exatamente
. Portanto obtemos a igualdade
Passo 4
A igualdade
implica
, logo
. (A dedução é válida porque demonstramos que a integral converge; assim igualdades algébricas entre integrais convergentes são permitidas.)
Opcional — interpretação alternativa (dividindo em dois integrandos que se cancelam): podemos escrever
Fazendo a substituição
apenas na segunda integral obtém-se que ela vale o negativo da primeira integral, e portanto as duas partes se cancelam, dando soma zero. Isso é a mesma ideia do passo anterior, apresentado de forma particionada.
Passo 5
Resumo didático rápido: a chave foi notar a simetria sob a transformação
. A função
muda de sinal ao aplicar
e o jacobiano da mudança de variável fornece exatamente o fator que permite comparar a integral com seu negativo. Como a integral é convergente, essa simetria força o valor total a ser zero. Boa notícia: esta é uma técnica poderosa para várias integrais impróprias envolvendo
e razões com
.
Resposta
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