Se f^prime(x)=x(x-1)(x-2)^2(x-3)^3. O número de extremos relativos de f(x) é
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) NRA

Passo 1

O enunciado fornece a derivada f'(x)=x(x-1)(x-2)^2(x-3)^3 e pede o número de extremos relativos de f(x). Para isso, vamos usar o teste da primeira derivada, isto é, analisar o sinal de f'(x) em cada intervalo determinado pelas raízes.

Passo 2

Encontramos as raízes de f'(x) e suas multiplicidades:
x=0 (multiplicidade 1),
x=1 (multiplicidade 1),
x=2 (multiplicidade 2),
x=3 (multiplicidade 3).

Passo 3

Vamos montar o quadro de sinais de f'(x). Escolhemos um ponto teste em cada intervalo e calculamos o sinal de cada fator:
c|ccccc x & (-infty,0) & (0,1) & (1,2) & (2,3) & (3,infty) hline x & - & + & + & + & + x-1 & - & - & + & + & + (x-2)^2 & + & + & + & + & + (x-3)^3 & - & - & - & - & + hline Produto f'(x) & - & + & - & - & +

Passo 4

Analisamos as trocas de sinal em cada raiz:
  • Em x=0: f' muda de - para + Rightarrow mínimo relativo.
  • Em x=1: f' muda de + para - Rightarrow máximo relativo.
  • Em x=2: f' permanece - Rightarrow sem extremo (multiplicidade par).
  • Em x=3: f' muda de - para + Rightarrow mínimo relativo.
Total de extremos relativos: 3.

Resposta

3

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