Mostre que a sequência
converge e que seu limite está entre
e 1 .
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para mostrar que
converge e que o seu limite
satisfaz
O conteúdo chave é o Teorema da Convergência para sequências monotônicas e limitadas. Vamos então (i) encontrar cotas que garantam
limitada, (ii) provar que
é monotônica e (iii) concluir pela convergência.
Passo 2
Mostramos primeiro que
fica sempre entre
e
. Para cada
valem as desigualdades
Somando essas
desigualdades obtemos
Como
e
, concluímos
Passo 3
Vamos mostrar que
é crescente, i.e.\
. Note que
Portanto
Basta verificar que
De fato,
enquanto
Comparando numeradores e denominadores vê-se que
o que implica
Logo
, ou seja,
é estritamente crescente.
Passo 4
Já que
é crescente e está limitada superiormente por
, o Teorema da Convergência Monótona garante que
converge para algum limite
Como para todo
temos
, pelo Teorema do Confronto concluímos
Observando que
para
, na prática
fica estritamente entre
e
.
Resposta
A sequência
é monótona crescente e limitada em
, logo converge e seu limite
satisfaz