Mostre que a sequência an=(1n+1+1n+2+ldots+12 n) converge e que seu limite está entre 12 e 1 .

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = 1n+1 + 1n+2 + cdots + 12n,,
e pede para mostrar que an converge e que o seu limite L satisfaz
12 < L < 1
O conteúdo chave é o Teorema da Convergência para sequências monotônicas e limitadas. Vamos então (i) encontrar cotas que garantam an limitada, (ii) provar que an é monotônica e (iii) concluir pela convergência.

Passo 2

Mostramos primeiro que an fica sempre entre tfrac12 e 1. Para cada k=1,2,dots,n valem as desigualdades
12n <= 1n+k <= 1n,
Somando essas n desigualdades obtemos
ncdot 12n <= an <= ncdot 1n Longrightarrow 12 <= an <= 1
Como n/(2n)=tfrac12 e n/n=1, concluímos
12 < an < 1 para todo n>=1

Passo 3

Vamos mostrar que (an) é crescente, i.e.\ an+1 > an. Note que
an = sumk=1^n 1n+k, an+1 = sumk=1^n+1 1(n+1)+k = sumk=2^n+2 1n+k
Portanto
an+1 - an = 12n+1 + 12n+2 - 1n+1
Basta verificar que
12n+1 + 12n+2 > 1n+1
De fato,
12n+1 + 12n+2 = (2n+2)+(2n+1)(2n+1)(2n+2) = 4n+34n^2+6n+2,
enquanto
1n+1 = 4n^2+6n+2(n+1)(4n^2+6n+2)
Comparando numeradores e denominadores vê-se que
4n+3 > 4n^2+6n+2n+1,
o que implica
4n+34n^2+6n+2 > 1n+1
Logo an+1 - an > 0, ou seja, (an) é estritamente crescente.

Passo 4

Já que (an) é crescente e está limitada superiormente por 1, o Teorema da Convergência Monótona garante que an converge para algum limite
L = limntoinftyan
Como para todo n temos tfrac12 < an < 1, pelo Teorema do Confronto concluímos
12 <= L <= 1
Observando que a1=tfrac12< an<1 para n>=2, na prática L fica estritamente entre tfrac12 e 1.

Resposta

A sequência an=sumk=1^n1n+k é monótona crescente e limitada em l(tfrac12,1r), logo converge e seu limite L satisfaz
12 < L < 1

Exercícios relacionados