Prove que:
lim n infty(raizn+h-raizn)=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para qualquer constante h, a sequência
an = raizn+h - raizn
tem limite zero quando ntoinfty.
O conteúdo aqui é cálculo de limite de sequência usando racionalização e o Teorema do Confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Para ver melhor o comportamento de an, vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado raizn+h+raizn. Assim,
raizn+h-raizn = (raizn+h-raizn)(raizn+h+raizn)raizn+h+raizn = n + h - nraizn+h+raizn = hraizn+h+raizn

Passo 3

Agora vamos estimar o valor absoluto de an. Note que para n grande as raízes são positivas, logo
0 ;<=;l|raizn+h-raiznr| = |h|raizn+h+raizn <= |h|raizn+raizn = |h|2raizn

Passo 4

Como sabemos que raizntoinfty quando ntoinfty, a fração
|h|2raizn
tende a zero. Pelo Teorema do Confronto, 0 <= |an|<= |h|/(2raizn) implica |an|to0, ou seja anto0.

Resposta

limntoinfty(raizn+h-raizn) = 0

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