lim x +infty(cos (2 / x))^x^2=
(A) 1
(B) e
(C) e^-2
(D) e^2
(E) NRA

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto+inftyl(cos(2/x)r)^x^2
Este é um limite do tipo (1+u(x))^v(x) quando xto+infty, que costuma ser tratado levando o logaritmo e usando expansão de séries para funções próximas de 1.

Passo 2

Para xto+infty temos 2/xto0. Usamos a expansão de Taylor de costheta em torno de theta=0:
costheta = 1 - theta^22 + o(theta^2)
Substituindo theta = 2/x, obtemos
cosl(2/xr) = 1 - 12l(2xr)^2 + ol(x^-2r) = 1 - 2x^2 + ol(x^-2r)

Passo 3

Para aproveitar a forma exponencial, escrevemos
l(cos(2/x)r)^x^2 = expl(x^2lnl(cos(2/x)r)r)
Agora usamos a expansão de ln(1+y) para yto0:
ln(1+y)=y+o(y)
Aqui y=-2/x^2+o(x^-2), então
lnl(cos(2/x)r) = lnl(1 - 2x^2 + o(x^-2)r) = -2x^2 + o(x^-2)

Passo 4

Multiplicando por x^2, temos
x^2lnl(cos(2/x)r) = x^2l(-2x^2 + o(x^-2)r) = -2 + o(1)
Tomando o limite em xto+infty dentro do expoente,
limxto+inftyx^2lnl(cos(2/x)r) = -2,
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limxto+inftyl(cos(2/x)r)^x^2 = exp(-2) = e^-2

Resposta

(C) e^-2

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