é o campo dado por
calcular a integral de linha de
ao longo de um caminho que começa na origem e termina no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo de um caminho que começa na origem
e termina no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela mede o trabalho realizado por um campo vetorial ao mover um objeto ao longo de um caminho específico. Se o campo for conservativo, podemos simplificar bastante nossos cálculos encontrando uma função potencial.
Passo 3
Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial
tal que
, ou seja,
e
. Além disso, para que o campo seja conservativo em um domínio simplesmente conexo, precisamos que
.
Passo 4
Vamos verificar se o campo
é conservativo:
Calculando
:
Calculando
:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 5
Como o campo é conservativo, existe uma função potencial
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 6
Agora, usamos a condição
para encontrar
:
Igualando a
:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma constante de integração, que podemos ignorar para nossa função potencial.
Passo 7
Então, a função potencial
é:
Passo 8
Para calcular a integral de linha, basta avaliar a função potencial nos pontos finais e subtrair:
Calculando
:
E
:
Resposta
A integral de linha de
de
a
é
.