Se F: R^2 R^2 é o campo dado por
F(x, y)=(4 x+sen^2 y, x sen 2 y+1),
calcular a integral de linha de F ao longo de um caminho que começa na origem e termina no ponto (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial F(x, y) = (4x + sin^2 y,, x sin 2y + 1) ao longo de um caminho que começa na origem (0, 0) e termina no ponto (1, 1). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela mede o trabalho realizado por um campo vetorial ao mover um objeto ao longo de um caminho específico. Se o campo for conservativo, podemos simplificar bastante nossos cálculos encontrando uma função potencial.

Passo 3

Um campo vetorial F = (P, Q) é conservativo se existe uma função potencial phi(x, y) tal que F = nabla phi, ou seja, P = partial phipartial x e Q = partial phipartial y. Além disso, para que o campo seja conservativo em um domínio simplesmente conexo, precisamos que partial Ppartial y = partial Qpartial x.

Passo 4

Vamos verificar se o campo F é conservativo:
Calculando partial Ppartial y:
P = 4x + sin^2 y Rightarrow partial Ppartial y = 2 sin y cos y = sin 2y
Calculando partial Qpartial x:
Q = x sin 2y + 1 Rightarrow partial Qpartial x = sin 2y
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x = sin 2y, o campo F é conservativo.

Passo 5

Como o campo é conservativo, existe uma função potencial phi(x, y) tal que:
partial phipartial x = 4x + sin^2 y
Para encontrar phi(x, y), vamos integrar P em relação a x:
phi(x, y) = integral (4x + sin^2 y) , dx = 2x^2 + x sin^2 y + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y.

Passo 6

Agora, usamos a condição partial phipartial y = Q para encontrar g(y):
partial phipartial y = x cdot 2 sin y cos y + g'(y) = x sin 2y + g'(y)
Igualando a Q = x sin 2y + 1:
x sin 2y + g'(y) = x sin 2y + 1 Rightarrow g'(y) = 1
Integrando g'(y) em relação a y:
g(y) = y + C
Onde C é uma constante de integração, que podemos ignorar para nossa função potencial.

Passo 7

Então, a função potencial phi(x, y) é:
phi(x, y) = 2x^2 + x sin^2 y + y

Passo 8

Para calcular a integral de linha, basta avaliar a função potencial nos pontos finais e subtrair:
integralori>=m^(1,1) F cdot dr = phi(1, 1) - phi(0, 0)
Calculando phi(1, 1):
phi(1, 1) = 2(1)^2 + 1 cdot sin^2(1) + 1 = 2 + sin^2(1) + 1 = 3 + sin^2(1)
E phi(0, 0):
phi(0, 0) = 2(0)^2 + 0 cdot sin^2(0) + 0 = 0

Resposta

A integral de linha de F de (0, 0) a (1, 1) é 3 + sin^2(1).

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