f: R^2 & R (x, y) & mapsto x y^2x^2+y^4 se (x, y) neq(0,0) (0,0) & mapsto 0
(a) Prove que f é descontínua na origem.
(b) Seja r uma reta que passa na origem. Mostre que lim substackx (0,0) x in r f(X)=0.
© Determine f^prime((0,0) ;(a, b)) para (a, b) in R^2.

Passo 1

A questão define a função f:R^2toR por partes, e nos pede para analisar continuidade na origem, limites ao longo de retas e derivada direcional em (0,0). Vamos usar conceitos de limites em R^2, definição de continuidade e derivada direcional, sem pular etapas e sempre mostrando o que cada ferramenta teórica faz.

Passo 2

Para (a), lembramos que f é descontínua em um ponto se existir alguma trajetória por onde o limite não coincide com o valor da função. Escolhemos a curva y=raizx (com x>0), então (x,y)=(t,raiz t). Note que y^2=x e y^4=x^2. Assim,
fl(t,raiz tr)=tcdot(raiz t)^2t^2+(raiz t)^4=t^22t^2=tfrac12
Como f(0,0)=0, concluímos que o limite ao longo dessa curva é tfrac12ne0, mostrando a descontinuidade.

Passo 3

Para (b), seja uma reta r passando pela origem. Em coordenadas, podemos escrever (x,y)=(t,mt) para algum minR (caso r não seja vertical) ou (x,y)=(0,t) (reta vertical). No primeiro caso,
f(t,mt)=t,(m t)^2t^2+(m t)^4=m^2 t^3t^2+m^4t^4=m^2t1+m^4t^2to0(tto0)No caso vertical (x=0), vemos diretamente f(0,t)=0. Logo em qualquer reta r,
lim(x,y)to(0,0),,(x,y)in rf(x,y)=0

Passo 4

Para ©, usamos a definição de derivada direcional em (0,0) na direção (a,b):
f'l((0,0);(a,b)r)=limtto0f(ta,tb)-f(0,0)t=limtto0f(ta,tb)tSe aneq0, substituindo na expressão de f temos
f(ta,tb)=ta,(tb)^2(ta)^2+(tb)^4=t^3ab^2t^2a^2+t^4b^4 =t,b^2/a1+t^2b^4/a^2,então
f(ta,tb)t=b^2/a1+t^2b^4/a^2tob^2a (tto0)Se a=0 e bneq0, a direção é vertical e f(0,tb)=0 para todo t, logo
f(0,tb)t=0Longrightarrow f'l((0,0);(0,b)r)=0

Resposta

, pois ao longo de ) (a) Não contínua em ((0,0) o limite vale y=raizx. \ (b) Em qualquer reta 1/2ne0 passando pela origem, r. \ © Para lim f=0 com (a,b), ane0; se f'((0,0);(a,b))=b^2/a, a=0.

Exercícios relacionados