(a) Prove que
é descontínua na origem.
(b) Seja
uma reta que passa na origem. Mostre que
.
© Determine
para
.
(b) Seja
© Determine
Passo 1
A questão define a função
por partes, e nos pede para analisar continuidade na origem, limites ao longo de retas e derivada direcional em
. Vamos usar conceitos de limites em
, definição de continuidade e derivada direcional, sem pular etapas e sempre mostrando o que cada ferramenta teórica faz.
Passo 2
Para (a), lembramos que
é descontínua em um ponto se existir alguma trajetória por onde o limite não coincide com o valor da função. Escolhemos a curva
(com
), então
. Note que
e
. Assim,
Como
Passo 3
Para (b), seja uma reta
passando pela origem. Em coordenadas, podemos escrever
para algum
(caso
não seja vertical) ou
(reta vertical). No primeiro caso,
Passo 4
Para ©, usamos a definição de derivada direcional em
na direção
:
Resposta
, pois ao longo de
o limite vale
. \ (b) Em qualquer reta
passando pela origem,
. \ © Para
com
,
; se
,
.