(a) f: R^2 R
& (x, y) mapsto x^3x^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) & (0,0) mapsto 0
(b) g: R^2 R
& (x, y) mapsto x y^2x^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) & (0,0) mapsto 0
© h: R^2 R
& (x, y) mapsto 4 x y(x^2-y^2)x^2+y^2 se (x, y) neq(0,0), & (0,0) mapsto 0
(d) j: R^2 R
(x, y) & mapsto x y^2x^4+y^4 se (x, y) neq(0,0) (0,0) & mapsto 0

Passo 1

O enunciado pede para a gente verificar se cada uma das funções f,g,h,j:R^2toR é contínua em (0,0). Para isso precisamos estudar o limite dessas funções quando (x,y)to(0,0) e compará-lo com o valor que cada uma atribui em (0,0), que é zero.

Passo 2

Em funções de duas variáveis, uma ferramenta bem prática para estudar limites no ponto (0,0) é passar para coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta. Assim qualquer expressão do tipo x^2+y^2 vira r^2, e depois fazemos rto0^+.

Passo 3

Para f(x,y)=dfracx^3x^2+y^2 quando (x,y)neq(0,0), em coordenadas polares temos
f(r,theta)=r^3cos^3thetar^2=rcos^3theta
Como rto0 faz rcos^3thetato0 para todo theta, o limite é zero. Como f(0,0)=0, concluímos que f é contínua em (0,0).

Passo 4

Para g(x,y)=dfracx,y^2x^2+y^2 temos em polares
g(r,theta)=r^3costhetasin^2thetar^2=rcosthetasin^2theta
De novo, rto0 implica g(r,theta)to0 uniformemente em theta. Como g(0,0)=0, g é contínua em (0,0).

Passo 5

Para h(x,y)=dfrac4xy(x^2-y^2)x^2+y^2 em polares fica
h(r,theta)=4l(rcosthetar)l(rsinthetar)l(r^2cos^2theta-r^2sin^2thetar)r^2=4r^2costhetasintheta(cos^2theta-sin^2theta)
Aqui aparece r^2 multiplicando uma função limitada de theta, então claro que h(r,theta)to0. Como h(0,0)=0, h também é contínua em (0,0).

Passo 6

Para j(x,y)=dfracx,y^2x^4+y^4 vamos usar uma reta simples, por exemplo y=x. Então
j(x,x)=x,x^2x^4+x^4=x^32x^4=12x
Quando xto0, isso explode para pminfty em vez de tender a zero. Logo não existe limite finito e, consequentemente, j não é contínua em (0,0).

Resposta

As funções f, g e h são contínuas em (0,0), enquanto j não é contínua em (0,0).

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