(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
O enunciado pede para a gente verificar se cada uma das funções
é contínua em
. Para isso precisamos estudar o limite dessas funções quando
e compará-lo com o valor que cada uma atribui em
, que é zero.
Passo 2
Em funções de duas variáveis, uma ferramenta bem prática para estudar limites no ponto
é passar para coordenadas polares:
,
. Assim qualquer expressão do tipo
vira
, e depois fazemos
.
Passo 3
Para
quando
, em coordenadas polares temos
Como
faz
para todo
, o limite é zero. Como
, concluímos que
é contínua em
.
Passo 4
Para
temos em polares
De novo,
implica
uniformemente em
. Como
,
é contínua em
.
Passo 5
Para
em polares fica
Aqui aparece
multiplicando uma função limitada de
, então claro que
. Como
,
também é contínua em
.
Passo 6
Para
vamos usar uma reta simples, por exemplo
. Então
Quando
, isso explode para
em vez de tender a zero. Logo não existe limite finito e, consequentemente,
não é contínua em
.
Resposta
As funções
,
e
são contínuas em
, enquanto
não é contínua em
.