Se F=rr^p, determine nabla cdot F. Existe um valor de p para que nabla cdot F=0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício onde temos um campo vetorial F = rr^p e precisamos determinar a divergência desse campo, ou seja, nabla cdot F. Além disso, queremos saber se existe algum valor de p que faz com que essa divergência seja zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a operação de divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) em coordenadas cartesianas é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Isso basicamente mede como o campo “espalha” ou “converge” em um ponto.

Passo 3

No nosso caso, F = rr^p, onde r = (x, y, z) e r = raizx^2 + y^2 + z^2. Então, podemos escrever os componentes de F como:
Fx = xr^p, Fy = yr^p, Fz = zr^p

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de cada componente em relação à sua variável:
  1. Para Fx:
partial Fxpartial x = partialpartial x ( xr^p ) = 1 cdot r^p - x cdot p r^p-1 cdot xrr^2p = r^p - p x^2r^pr^2p = 1r^p - p x^2r^p+2
  1. Da mesma forma, para Fy e Fz:
partial Fypartial y = 1r^p - p y^2r^p+2
partial Fzpartial z = 1r^p - p z^2r^p+2

Passo 5

Agora, somamos essas três derivadas para encontrar a divergência:
nabla cdot F = ( 1r^p - p x^2r^p+2 ) + ( 1r^p - p y^2r^p+2 ) + ( 1r^p - p z^2r^p+2 )
Simplificando:
nabla cdot F = 3r^p - p x^2 + y^2 + z^2r^p+2
Sabemos que x^2 + y^2 + z^2 = r^2, então:
nabla cdot F = 3r^p - p r^2r^p+2 = 3r^p - p 1r^p
nabla cdot F = 3 - pr^p

Passo 6

Agora, queremos que nabla cdot F = 0. Então:
3 - pr^p = 0
Para essa equação ser verdadeira para todo r neq 0, o numerador deve ser zero:
3 - p = 0 Rightarrow p = 3

Resposta

O valor de p que faz com que nabla cdot F = 0 é p = 3.

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