Se
, determine
. Existe um valor de
para que
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício onde temos um campo vetorial
e precisamos determinar a divergência desse campo, ou seja,
. Além disso, queremos saber se existe algum valor de
que faz com que essa divergência seja zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a operação de divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial
em coordenadas cartesianas é dada por:
Isso basicamente mede como o campo “espalha” ou “converge” em um ponto.
Passo 3
No nosso caso,
, onde
e
. Então, podemos escrever os componentes de
como:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de cada componente em relação à sua variável:
- Para
:
- Da mesma forma, para
e :
Passo 5
Agora, somamos essas três derivadas para encontrar a divergência:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, queremos que
. Então:
Para essa equação ser verdadeira para todo
, o numerador deve ser zero:
Resposta
O valor de
que faz com que
é
.