Se
f(t)=e^t i+e^-t j+raiz2 t k
Reparametrize por comprimento de arco a curva descrita por f.

Passo 1

O enunciado pede a reparametrização por comprimento de arco da curva vec f(t)=e^t,hatimath+e^-t,hatjmath+raiz2,t,hat k. O conteúdo envolvido é comprimento de arco de uma curva em R^3, e vamos precisar calcular |vec f,'(t)|, integrar para achar s(t), inverter a relação e substituir de volta.

Passo 2

Primeiro encontramos a derivada de vec f(t) e sua norma. Temos
vec f,'(t)=l(e^t,,-e^-t,,raiz2r),
então
l|vec f,'(t)r|=raizl(e^tr)^2+l(-e^-tr)^2+(raiz2)^2=raize^2t+e^-2t+2=e^t+e^-t

Passo 3

Como ds/dt=|vec f,'(t)|, integramos escolhendo s(0)=0:
s(t)=integral0^tl(e^u+e^-ur),du=l[e^u-e^-ur]0^t=e^t-e^-t=2sinh t

Passo 4

Invertendo essa relação para obter t em função de s:
e^t-e^-t=sLongrightarrow t=arcsinhtfracs2=lnl(tfracs2+raiz1+l(tfracs2r)^2r)

Passo 5

Por fim substituímos t=t(s) em vec f(t). Usando
e^arcsinh(x)=x+raizx^2+1,
com x=s/2, obtemos a reparametrização
vec r(s)=l(s+raizs^2+42,;raizs^2+4-s2,;raiz2,arcsinhtfracs2r)

Resposta

vec r(s)=l(tfracs+raizs^2+42,;tfracraizs^2+4-s2,;raiz2,arcsinhtfracs2r),;s>=0

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