F(t)m= 0, & t<0 a times(t / tau), & 0tau
Find the response function. Allow tau 0 and show that the solution becomes that for a step function.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a força por unidade de massa é
F(t)m = 0, & t<0, a,(t/tau), & 0tau,
e a gente quer achar a “response function”, ou seja, a posição x''(t)=F(t)m, satisfazendo
com condições iniciais e .
Conteúdo da matéria: equações diferenciais de 2ª ordem, solução por integração direta em trechos, e como o limite vira o caso de degrau.

Passo 2

Resolvendo para x''(t)=a,ttau . Nesse intervalo
x'(t)=integral0^t x''(s),ds =integral0^t a,stau,ds =atau,t^22 =a2tau,t^2
Pra achar x(t)=integral0^t x'(s),ds =integral0^t a2tau,s^2,ds =a2tau,t^33 =a6tau,t^3 , integramos em :
Agora integramos de novo pra achar :

Passo 3

Agora para x'(tau)=a2tau,tau^2=a,tau2, x(tau)=a6tau,tau^3=a,tau^26 , a aceleração é constante x(t)=x(tau)+x'(tau),(t-tau)+a2,(t-tau)^2 . Mas a gente já tinha uma “velocidade” e uma “posição” iniciais lá em x(t) =atau^26 +atau2,(t-tau) +a2(t-tau)^2 :
Quando a aceleração é constante, a solução geral é
Substituindo os valores:
Se você quiser pode expandir, mas nem é obrigatório pra ver o limite.

Passo 4

Agora fazemos x(tau)to0, x'(tau)to0, . Repare que
x(t);longrightarrow;0+0cdot t+a2t^2 =a2,t^2,
e a expressão acima vira simplesmente
que é exatamente a solução para o caso da força degrau .

Resposta

A solução fica, em forma resumida:
Para x(t)=a6tau,t^3 : x(t) =atau^26 +atau2(t-tau) +a2(t-tau)^2 .
Para x(t)=a2,t^2, :
Para :
E no limite , tudo se reduz a
que é a resposta para a força-degrau.

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