A particle of mass
moving in one dimension has potential energy
, where
and
are positive constants. What is the angular frequency
of oscillations about the point of stable equilibrium?
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado diz que uma partícula de massa
se move num potencial
com
Conteúdo: oscilações pequenas e expansão de Taylor do potencial. Vamos precisar de
1) achar o ponto de equilíbrio (onde
2) calcular
3) usar
Passo 2
A gente primeiro calcula a derivada primeira:
Igualando a zero,
, dá
Agora achamos qual é estável: ponto estável é onde
Passo 3
Calculemos a segunda derivada:
Em
isso vira
(o que garante mínimo e estabilidade). Em
Passo 4
Para pequenas oscilações em torno de
, o potencial se comporta como
e sabemos da teoria de oscilações que
Aqui
.
Resposta
$$\boxed{\omega = \sqrt{\frac{4U_{0}/a^2}{m}}
=2,\sqrt{\frac{U_{0}}{m,a^2}},.}$$