A particle of mass m moving in one dimension has potential energy U(x)= U0[2(x / a)^2-(x / a)^4], where U0 and a are positive constants. What is the angular frequency omega of oscillations about the point of stable equilibrium?

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que uma partícula de massa m se move num potencial
U(x)=U0l[2l( xar)^2-l( xar)^4r]
com U0>0 e a>0. Queremos achar a frequência angular omega das pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio estável.
Conteúdo: oscilações pequenas e expansão de Taylor do potencial. Vamos precisar de
1) achar o ponto de equilíbrio (onde U'(x)=0),
2) calcular U''(x) nesse ponto,
3) usar omega=raizU''(x0)/m.

Passo 2

A gente primeiro calcula a derivada primeira:
U'(x)=ddxl[,U0(2x^2/a^2 - x^4/a^4)r] =U0l(,4x/a^2 -4x^3/a^4r) =4U0xa^2l(1-x^2a^2r)
Igualando a zero, U'(x)=0, dá
x=0ou x^2=a^2;Rightarrow;x=pm a
Agora achamos qual é estável: ponto estável é onde U''>0.

Passo 3

Calculemos a segunda derivada:
U''(x)=ddxl[4U0x/a^2 -4U0x^3/a^4r] =4U0/a^2 -12U0x^2/a^4 =4U0l(1a^2-3x^2a^4r)
Em x=0 isso vira
U''(0)=4U0/a^2>0
(o que garante mínimo e estabilidade). Em x=pm a daria valor negativo (máximo instável).

Passo 4

Para pequenas oscilações em torno de x0=0, o potencial se comporta como
U(x)approx U(0)+tfrac12,U''(0),x^2
e sabemos da teoria de oscilações que
omega=raizU''(x0)m
Aqui U''(0)=4U0/a^2.

Resposta

$$\boxed{\omega = \sqrt{\frac{4U_{0}/a^2}{m}}
=2,\sqrt{\frac{U_{0}}{m,a^2}},.}$$

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