Se
e
, utilize as fórmulas vista em aula,
para calcular
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas funções vetoriais, $ F(t) = (\sin t, \cos t, t) $ e $ G(t) = (t, \cos t, \sin t) $. A gente vai trabalhar com cálculo de derivadas de produtos internos e produtos vetoriais dessas funções. Pra resolver isso, a gente vai usar as fórmulas que foram vistas em aula para derivar o produto interno $ \langle F(t), G(t) \rangle $ e o produto vetorial $ [F(t) \wedge G(t)] $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada do produto interno $ \langle F(t), G(t) \rangle $. A fórmula que vamos usar é:
Para isso, precisamos achar as derivadas das funções vetoriais $ F’(t) $ e $ G’(t) $.
Passo 3
Vamos derivar $ F(t) $:
Agora, vamos derivar $ G(t) $:
Passo 4
Agora que temos $ F’(t) $ e $ G’(t) $, vamos calcular $ \langle F’(t), G(t) \rangle $:
E também $ \langle F(t), G’(t) \rangle $:
Passo 5
Agora, somamos os dois resultados para obter $ \frac{d}{dt} \langle F(t), G(t) \rangle $:
Podemos simplificar un pouco:
Passo 6
Agora vamos calcular a derivada do produto vetorial $ [F(t) \wedge G(t)] $. A fórmula que vamos usar é:
Primeiro, vamos calcular $ F(t) \wedge G(t) $.
Passo 7
Calculando $ F(t) \wedge G(t) $:
O produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:
Passo 8
Agora, vamos calcular $ F’(t) \wedge G(t) $:
Calculando o determinante:
Passo 9
Agora, vamos calcular $ F(t) \wedge G’(t) $:
Calculando o determinante:
Passo 10
Agora, somamos $ F’(t) \wedge G(t) $ e $ F(t) \wedge G’(t) $:
Simplificando cada componente:
- Componente $ \mathbf{i} $:
- Componente $ \mathbf{j} $:
- Componente $ \mathbf{k} $:
Passo 11
Vamos simplificar mais um pouco:
- Para o componente $ \mathbf{i} $:
Sabendo que $ \cos^2 t - \sin^2 t = \cos 2t $, temos:
- Para o componente $ \mathbf{j} $:
- Para o componente $ \mathbf{k} $:
Então, a derivada do produto vetorial fica:
Resposta
A derivada do produto interno é:
E a derivada do produto vetorial é: