Se F(t)=(sen t, cos t, t) e G(t)=(t, cos t, sen t), utilize as fórmulas vista em aula,
dd tlang<= F(t), G(t)rang<= & =lang<= F^prime(t), G(t)rang<=+lang<= F(t), G^prime(t)rang<= dd t[F(t) wed>= G(t)] & =F^prime(t) wed>= G(t)+F(t) wed>= G^prime(t)
para calcular dd tlang<= F(t), G(t)rang<= e dd t[F(t) wed>= G(t)].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas funções vetoriais, $ F(t) = (\sin t, \cos t, t) $ e $ G(t) = (t, \cos t, \sin t) $. A gente vai trabalhar com cálculo de derivadas de produtos internos e produtos vetoriais dessas funções. Pra resolver isso, a gente vai usar as fórmulas que foram vistas em aula para derivar o produto interno $ \langle F(t), G(t) \rangle $ e o produto vetorial $ [F(t) \wedge G(t)] $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada do produto interno $ \langle F(t), G(t) \rangle $. A fórmula que vamos usar é:
lang<= F(t), G(t) rang<=
Para isso, precisamos achar as derivadas das funções vetoriais $ F’(t) $ e $ G’(t) $.

Passo 3

Vamos derivar $ F(t) $:
F(t)
Agora, vamos derivar $ G(t) $:
F(t) = (sin t, cos t, t) F'(t) = (ddt sin t, ddt cos t, ddt t) = (cos t, -sin t, 1)

Passo 4

Agora que temos $ F’(t) $ e $ G’(t) $, vamos calcular $ \langle F’(t), G(t) \rangle $:
F'(t)
E também $ \langle F(t), G’(t) \rangle $:
G'(t)

Passo 5

Agora, somamos os dois resultados para obter $ \frac{d}{dt} \langle F(t), G(t) \rangle $:
ddt lang<= F(t), G(t) rang<=
Podemos simplificar un pouco:
ddt lang<= F(t), G(t) rang<= = (tcos t - sin t cos t + sin t) + (sin t - cos t sin t + t cos t) = 2tcos t - 2sin t cos t + 2sin t

Passo 6

Agora vamos calcular a derivada do produto vetorial $ [F(t) \wedge G(t)] $. A fórmula que vamos usar é:
[F(t) wed>= G(t)]
Primeiro, vamos calcular $ F(t) \wedge G(t) $.

Passo 7

Calculando $ F(t) \wedge G(t) $:
F(t) wed>= G(t)
O produto vetorial é dado por:
F(t) = (sin t, cos t, t) G(t) = (t, cos t, sin t)
Calculando o determinante:
F(t) wed>= G(t) = i & j & k sin t & cos t & t t & cos t & sin t

Passo 8

Agora, vamos calcular $ F’(t) \wedge G(t) $:
F'(t) wed>= G(t)
Calculando o determinante:
F'(t) = (cos t, -sin t, 1) G(t) = (t, cos t, sin t) F'(t) wed>= G(t) = i & j & k cos t & -sin t & 1 t & cos t & sin t

Passo 9

Agora, vamos calcular $ F(t) \wedge G’(t) $:
F(t) wed>= G'(t)
Calculando o determinante:
F(t) = (sin t, cos t, t) G'(t) = (1, -sin t, cos t) F(t) wed>= G'(t) = i & j & k sin t & cos t & t 1 & -sin t & cos t

Passo 10

Agora, somamos $ F’(t) \wedge G(t) $ e $ F(t) \wedge G’(t) $:
F'(t) wed>= G(t)
Simplificando cada componente:
  • Componente $ \mathbf{i} $:
F(t) wed>= G'(t)
  • Componente $ \mathbf{j} $:
ddt [F(t) wed>= G(t)] = F'(t) wed>= G(t) + F(t) wed>= G'(t) = [i (-sin^2 t - cos t) - j (cos t sin t - t) + k (cos^2 t + t sin t)] + [i (cos^2 t + t sin t) - j (sin t cos t - t) + k (-sin^2 t - cos t)]
  • Componente $ \mathbf{k} $:
i

Passo 11

Vamos simplificar mais um pouco:
  • Para o componente $ \mathbf{i} $:
i
Sabendo que $ \cos^2 t - \sin^2 t = \cos 2t $, temos:
cos^2 t - sin^2 t - cos t + t sin t
  • Para o componente $ \mathbf{j} $:
cos^2 t - sin^2 t = cos 2t
  • Para o componente $ \mathbf{k} $:
cos 2t - cos t + t sin t
Então, a derivada do produto vetorial fica:
j

Resposta

A derivada do produto interno é:
ddt lang<= F(t), G(t) rang<= = 2t cos t + 2 sin t (1 - cos t)
E a derivada do produto vetorial é:
ddt [F(t) wed>= G(t)] = (cos 2t - cos t + t sin t) i + (-sin 2t + 2t) j + (cos 2t - cos t + t sin t) k

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