Calcule a derivada direcional das funções no ponto
dado na direção de
:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre derivada direcional! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função $ f(x, y) = x^{2} + 2y^{2} - 3 $ no ponto $ P = (-1, 2) $ na direção do vetor $ \vec{u} = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) $. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e depois fazer o produto escalar dele com o vetor direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. Então, vamos calcular:
Assim, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ P = (-1, 2) $. Substituindo $ x = -1 $ e $ y = 2 $ na expressão do gradiente:
Passo 4
A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente no ponto $ P $ e o vetor direção $ \vec{u} $. Então, vamos calcular:
Passo 5
Vamos fazer o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de $ f $ no ponto $ P = (-1, 2) $ na direção de $ \vec{u} $ é $ \frac{26}{5} $.