Calcule a derivada direcional das funções no ponto P dado na direção de u :
f(x, y)=x^2+2 y^2-3, P=(-1,2) e u=(35, 45).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre derivada direcional! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função $ f(x, y) = x^{2} + 2y^{2} - 3 $ no ponto $ P = (-1, 2) $ na direção do vetor $ \vec{u} = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) $. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e depois fazer o produto escalar dele com o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. Então, vamos calcular:
f(x, y)
x
Assim, o gradiente é:
y

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ P = (-1, 2) $. Substituindo $ x = -1 $ e $ y = 2 $ na expressão do gradiente:
P = (-1, 2)

Passo 4

A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente no ponto $ P $ e o vetor direção $ \vec{u} $. Então, vamos calcular:
P

Passo 5

Vamos fazer o produto escalar:
(-2) times 35 + 8 times 45 = -65 + 325 = 265

Resposta

A derivada direcional de $ f $ no ponto $ P = (-1, 2) $ na direção de $ \vec{u} $ é $ \frac{26}{5} $.

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