Dentre as aplicações abaixo, verifique quais são lineares.
(b) F: R^3 R^3, F(x, y)=(x+y, x-y, 0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Fcolon R^3 to R^3, F(x,y,z)=(x+y,;x-y,;0)
é linear. Vamos usar a definição de transformação linear, que exige aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificação da aditividade. Tomemos
u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Então
F( u+ v) =F(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) =l((x1+x2)+(y1+y2),,(x1+x2)-(y1+y2),,0r)
F( u+ v) =(x1+y1+x2+y2,;x1-y1+x2-y2,;0)
Por outro lado,
F( u)+F( v) =(x1+y1,x1-y1,0)+(x2+y2,x2-y2,0) =(x1+y1+x2+y2,;x1-y1+x2-y2,;0)
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F( u+ v)=F( u)+F( v)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja alphain R. Então
F(alpha u) =F(alpha x1,;alpha y1,;alpha z1) =l(alpha x1+alpha y1,;alpha x1-alpha y1,;0r) =(alpha(x1+y1),;alpha(x1-y1),;0)
F(alpha u) =alpha,(x1+y1,x1-y1,0) =alpha,F( u)

Passo 4

Como satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que é linear.
Alternativamente, notamos que
o que reforça a linearidade.]

Resposta

F é linear.

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