Se
, mostre que em qualquer ponto diferente de zero
e
obedecem a equação de Laplace em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado considera uma função holomorfa
em todo ponto com
. Queremos mostrar que as componentes reais
e
satisfazem a equação de Laplace em coordenadas polares:
Passo 2
Como
é holomorfa,
e
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas cartesianas
:
Passo 3
Diferenciando a primeira equação em
e a segunda em
obtemos
Como
, ao somar aparece
logo
é harmônica em
:
.
Passo 4
De modo análogo, diferenciando a primeira equação em
e a segunda em
e subtraindo, chega-se a
ou seja,
também é harmônica em
.
Passo 5
Sabendo que o laplaciano em coordenadas polares se escreve
e que
,
, concluímos para
:
Resposta
As funções
e
satisfazem em todo ponto com
a equação de Laplace em coordenadas polares: