Se f=u(r, theta)+i v(r, theta), mostre que em qualquer ponto diferente de zero u e v obedecem a equação de Laplace em coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado considera uma função holomorfa
f(z)=u(r,theta)+i,v(r,theta)
em todo ponto com r>0. Queremos mostrar que as componentes reais u e v satisfazem a equação de Laplace em coordenadas polares:
urr+1r,ur+1r^2uthetatheta=0, vrr+1r,vr+1r^2vthetatheta=0

Passo 2

Como f é holomorfa, u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas cartesianas (x,y):
ux = vy, uy = -,vx

Passo 3

Diferenciando a primeira equação em x e a segunda em y obtemos
uxx=vyx, uyy=-,vxy
Como vyx=vxy, ao somar aparece
uxx+uyy=vyx-vxy=0,
logo u é harmônica em (x,y): ,uxx+uyy=0.

Passo 4

De modo análogo, diferenciando a primeira equação em y e a segunda em x e subtraindo, chega-se a
vxx+vyy=0,
ou seja, v também é harmônica em (x,y).

Passo 5

Sabendo que o laplaciano em coordenadas polares se escreve
De<a=partial^2partial r^2+1rpartialpartial r+1r^2partial^2partialtheta^2,
e que De<a u=uxx+uyy=0, De<a v=vxx+vyy=0, concluímos para r>0:
urr+1r,ur+1r^2uthetatheta=0, vrr+1r,vr+1r^2vthetatheta=0

Resposta

As funções u e v satisfazem em todo ponto com r>0 a equação de Laplace em coordenadas polares:
urr+1r,ur+1r^2uthetatheta=0, vrr+1r,vr+1r^2vthetatheta=0

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