Sendo f analítica num domínio, mostre que |f| não pode ser constante a menos que f o seja.

Passo 1

O enunciado afirma que temos uma função f analítica num domínio DsubsetC e quer mostrar que se l|f(z)r| é constante em D então f é constante. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Mapeamento Aberto (open mapping theorem) para funções analíticas não constantes.

Passo 2

O Teorema do Mapeamento Aberto diz:
Se f é analítica e não-constante em um domínio D, então f(D) é um conjunto aberto em C éíãíãé

Passo 3

Suponha, por contradição, que f seja não-constante e que exista R>=0 tal que
l|f(z)r| = R para todo zin D
Então
f(D);subset;winC:lvert wrvert=R,
isto é, a imagem de D está contida num círculo de raio R. Mas esse círculo não é um conjunto aberto em C, o que contraria o Teorema do Mapeamento Aberto. Logo a suposição de que f é não-constante está errada.

Resposta

Portanto, lvert frvert não pode ser constante a menos que f seja constante.

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