Sendo analítica num domínio, mostre que não pode ser constante a menos que o seja.
Passo 1
O enunciado afirma que temos uma função analítica num domínio e quer mostrar que se é constante em D então f é constante. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Mapeamento Aberto (open mapping theorem) para funções analíticas não constantes.
Passo 2
O Teorema do Mapeamento Aberto diz:
Se f é analítica e não-constante em um domínio D, então f(D) é um conjunto aberto em C éíãíãé
Passo 3
Suponha, por contradição, que f seja não-constante e que exista R>=0 tal que
l|f(z)r| = R para todo zin D
Então
f(D);subset;winC:lvert wrvert=R,
isto é, a imagem de D está contida num círculo de raio R. Mas esse círculo não é um conjunto aberto em C, o que contraria o Teorema do Mapeamento Aberto. Logo a suposição de que f é não-constante está errada.
Resposta
Portanto, lvert frvert não pode ser constante a menos que f seja constante.