Se
é uma função de classe
, então a matriz do operador (Hessf)§ em relação à base canônica de
, chama-se matriz hessiana de
que denotamos por
. Verifique que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a laplaciana de
, definida por
é exatamente o traço da matriz Hessiana de
em
, isto é,
O conteúdo da matéria envolve a definição de matriz Hessiana e o conceito de traço de matriz.
Passo 2
Por definição, a matriz Hessiana de
em
é a matriz
cujos elementos são
Em particular, os elementos da diagonal dessa matriz são
Passo 3
O traço de uma matriz quadrada é a soma dos seus elementos na diagonal principal. Assim, o traço da Hessiana em
vale
Passo 4
Comparando com a definição de laplaciana, vemos que