Se f: U subset R^n R é uma função de classe C^2, então a matriz do operador (Hessf)§ em relação à base canônica de R^n, chama-se matriz hessiana de f que denotamos por H(f)(p). Verifique que
De<a(f)=tr((Hess f)(p))

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a laplaciana de f, definida por
De<a f(p)=sumi=1^npartial^2fpartial xi^2(p),
é exatamente o traço da matriz Hessiana de f em p, isto é,
De<a f(p)=trl(Hessf(p)r)
O conteúdo da matéria envolve a definição de matriz Hessiana e o conceito de traço de matriz.

Passo 2

Por definição, a matriz Hessiana de f em p é a matriz ntimes n cujos elementos são
l(Hessf(p)r)ij =partial^2fpartial xi,partial xj(p)
Em particular, os elementos da diagonal dessa matriz são
l(Hessf(p)r)ii =partial^2fpartial xi^2(p), i=1,dots,n

Passo 3

O traço de uma matriz quadrada é a soma dos seus elementos na diagonal principal. Assim, o traço da Hessiana em p vale
trl(Hessf(p)r) =sumi=1^nl(Hessf(p)r)ii =sumi=1^npartial^2fpartial xi^2(p)

Passo 4

Comparando com a definição de laplaciana, vemos que
De<a f(p) =sumi=1^npartial^2fpartial xi^2(p) =trl(Hessf(p)r)

Resposta

De<a f(p)=trl(Hessf(p)r)

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