Resolva:
x^2 y^prime prime-2 x y^prime+2 y=0
Determine a solução geral para x>0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de Euler/Cauchy
x^2y''-2x,y'+2y=0, x>0
e pede a solução geral. Para resolver, vamos usar o método de supor uma solução da forma y=x^r, que transforma a EDO num polinômio característico em r.

Passo 2

Supondo y=x^r temos
y'=r,x^r-1, y''=r(r-1)x^r-2
Substituindo na equação original:
x^2l[r(r-1)x^r-2r]-2xl[r,x^r-1r]+2,x^r=0
Fatorando x^r (que não se anula para x>0), obtemos a equação característica.

Passo 3

Da substituição vem
r(r-1)-2r+2=0
ou seja
r^2-r-2r+2=0;Longrightarrow;r^2-3r+2=0

Passo 4

Resolvendo o polinômio
r^2-3r+2=0
pelas fórmulas de Bhaskara, obtemos
r=3pmraiz9-82=3pm12,
logo os dois raízes reais e distintas são
r1=2, r2=1

Passo 5

Para raízes reais e distintas de uma equação de Euler, a solução geral é
y(x)=C1x^r1+C2x^r2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

boxedy(x)=C1x^2+C2x, C1,C2inR

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