Se
é diferenciável e
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função diferenciável f(u,v) e definimos φ(x,y)=f(x−y,y−x). O conteúdo aqui é derivadas parciais e regra da cadeia para composições.
Passo 2
Para usar a regra da cadeia, introduzimos u=x−y e v=y−x. Como φ(x,y)=f(u,v), temos
φ_x = f_u·∂u/∂x + f_v·∂v/∂x e
φ_y = f_u·∂u/∂y + f_v·∂v/∂y.
φ_x = f_u·∂u/∂x + f_v·∂v/∂x e
φ_y = f_u·∂u/∂y + f_v·∂v/∂y.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais de u e v: ∂u/∂x=1, ∂v/∂x=−1, ∂u/∂y=−1 e ∂v/∂y=1. Logo
φ_x = f_u·1 + f_v·(−1) = f_u − f_v,
φ_y = f_u·(−1) + f_v·1 = −f_u + f_v.
φ_x = f_u·1 + f_v·(−1) = f_u − f_v,
φ_y = f_u·(−1) + f_v·1 = −f_u + f_v.
Passo 4
Somando as duas expressões obtidas:
φ_x + φ_y = (f_u − f_v) + (−f_u + f_v) = 0.
φ_x + φ_y = (f_u − f_v) + (−f_u + f_v) = 0.
Passo 5
Portanto, concluímos que a soma das derivadas parciais de φ em x e y é zero.