Se f(x)=x^2 /(1+2x), encontre f''(1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar f''(1) em que
f(x)=x^21+2x
O conteúdo necessário é cálculo de derivadas de função racional usando a regra do quociente e, em seguida, derivada de um produto (ou regra da cadeia) para obter a segunda derivada.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^2, v(x)=1+2x,
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u'(x)=2x, v'(x)=2
Pela regra do quociente,
f'(x) =u'v - u,v'v^2 =2x(1+2x)-2,x^2(1+2x)^2 =2x+4x^2-2x^2(1+2x)^2 =2x+2x^2(1+2x)^2

Passo 3

Reescrevendo
f'(x)=2x(x+1),(1+2x)^-2,
para derivar de novo usamos produto e cadeia. Seja
g(x)=2x(x+1)implies g'(x)=4x+2
Então
f''(x) =g'(x),(1+2x)^-2 +g(x)cdot(-2),(1+2x)^-3cdot2
No numerador temos
(4x+2)(1+2x)-4cdot2x(x+1) =4x+2+8x^2+4x-8x^2-8x=2,
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f''(x)=2(1+2x)^3

Passo 4

Agora avaliamos em x=1:
f''(1)=2(1+2cdot1)^3 =23^3 =227

Resposta

227

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