Se f(x)=(x^2-x) e^x, encontre f''(0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x) = l(x^2 - xr)e^x
e pede o valor de f''(0).
O conteúdo necessário é cálculo de derivadas de um produto usando a regra de Leibniz:
l(u(x)v(x)r)' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada f'(x). Tome
u(x) = x^2 - x, v(x) = e^x
Então
u'(x) = 2x - 1, v'(x) = e^x,
e pela regra do produto
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = (2x - 1)e^x + (x^2 - x)e^x = l(x^2 + x - 1r)e^x

Passo 3

Agora derivamos f'(x) = h(x)e^x com h(x)=x^2+x-1. Temos
h'(x) = 2x + 1, (e^x)' = e^x,
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f''(x) = h'(x)e^x + h(x)e^x = l(2x + 1 + x^2 + x - 1r)e^x = l(x^2 + 3xr)e^x

Passo 4

Por fim, avaliamos em x=0:
f''(0) = l(0^2 + 3cdot0r)e^0 = 0cdot1 = 0

Resposta

0

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