(a) Se f(x)=(x^2-1) /(x^2+1), encontre f^prime(x) e f^prime prime(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a primeira e a segunda derivada da função . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a Regra do Quociente para derivadas. Isso vai nos ajudar a encontrar e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada ( uv )' = u'v - uv'v^2 . A função é um quociente de duas funções, então aplicamos a Regra do Quociente, que diz:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de u' = ddx(x^2 - 1) = 2x e v' = ddx(x^2 + 1) = 2x :

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra do Quociente:
f'(x) = u'v - uv'v^2 = (2x)(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(2x)(x^2 + 1)^2

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
(2x)(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(2x) = 2x cdot x^2 + 2x cdot 1 - 2x cdot x^2 + 2x cdot 1 = 2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x = 4x
Então, a derivada fica:
f'(x) = 4x(x^2 + 1)^2

Passo 6

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Precisamos derivar . Vamos usar a Regra do Quociente novamente.

Passo 7

Vamos definir u' = 4 e v' = 2(x^2 + 1) cdot 2x = 4x(x^2 + 1) . Calculamos as derivadas:

Passo 8

Aplicando a Regra do Quociente para f''(x) = u'v - uv'v^2 = 4(x^2 + 1)^2 - 4x cdot 4x(x^2 + 1)(x^2 + 1)^4 :

Passo 9

Simplificando o numerador:
4(x^2 + 1)^2 - 16x^2(x^2 + 1) = 4(x^2 + 1)(x^2 + 1) - 16x^2(x^2 + 1) = 4(x^2 + 1)(1 - 3x^2)
Então, a segunda derivada fica:
f''(x) = 4(1 - 3x^2)(x^2 + 1)^3

Resposta

A primeira derivada é e a segunda derivada é .

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