(a) Se f(x)=e^x /(2 x^2+x+1), encontre f^prime(x).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a sua derivada, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o Regra do Quociente, que é uma técnica de derivação para funções que são divisões de duas outras funções.

Passo 2

A Regra do Quociente diz que se temos uma função f'(x) = g'(x) cdot h(x) - g(x) cdot h'(x)[h(x)]^2 , então a sua derivada g(x) = e^x e h(x) = 2x^2 + x + 1 é dada por:
Nesse caso, podemos identificar:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de g'(x) = ddx e^x = e^x e h'(x) = ddx (2x^2 + x + 1) = 4x + 1 :

Passo 4

Aplicando a Regra do Quociente, substituímos f'(x) = e^x cdot (2x^2 + x + 1) - e^x cdot (4x + 1)(2x^2 + x + 1)^2 , , e na fórmula:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
e^x cdot (2x^2 + x + 1) - e^x cdot (4x + 1) = e^x cdot [2x^2 + x + 1 - 4x - 1]
= e^x cdot (2x^2 - 3x)

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão da derivada:
f'(x) = e^x cdot (2x^2 - 3x)(2x^2 + x + 1)^2

Resposta

A derivada de f'(x) = e^x cdot (2x^2 - 3x)(2x^2 + x + 1)^2 é:

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