Resolva os problemas de valor inicial
x^2 y^prime prime-x y^prime-15 y=0;
y(1)=0.1 ;
y^prime(1)=4,5

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial da equação de Euler–Cauchy
x² y" – x y’ – 15 y = 0
com
y(1)=0.1 e y’(1)=4.5
Então vamos usar a técnica de equação de Euler, achar a solução geral e depois ajustar as constantes pelas condições dadas.

Passo 2

Reconhecendo que é uma equação de Euler, fazemos a troca y = xᵣ. Calculamos y’ e y’’ e substituímos na equação original:
Substituindo:
x²·r(r1)x^r2 x·r x^r1 15·x^r = [r(r1) r 15]·x^r ²
A equação característica é:
r(r1) r 15 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
r² 2r 15 = 0 ²
As raízes são:
r = 2 pm raiz4 + 602 = 5 e r = -3

Passo 4

Logo a solução geral da equação é:
y(x) = C1 x^5 + C2 x^-3
e derivando para aplicar a segunda condição:
y'(x) = 5 C1 x^4 - 3 C2 x^-4

Passo 5

Usando y(1)=0.1 e y’(1)=4.5, obtemos o sistema:
C1 + C2 = 0.1 5 C1 - 3 C2 = 4.5

Passo 6

Da primeira equação sai C_1 = 0.1 – C_2. Substituindo na segunda:
5(0.1 C2) - 3 C2 = 4.5
0.5 - 8 C2 = 4.5
C2 = -0.5, C1 = 0.1 - (-0.5) = 0.6

Resposta

y(x) = 0.6,x^5 - 0.5,x^-3

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