Resolva os problemas de valor inicial
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Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial da equação de Euler–Cauchy
x² y" – x y’ – 15 y = 0
com
y(1)=0.1 e y’(1)=4.5
Então vamos usar a técnica de equação de Euler, achar a solução geral e depois ajustar as constantes pelas condições dadas.
Passo 2
Reconhecendo que é uma equação de Euler, fazemos a troca y = xᵣ. Calculamos y’ e y’’ e substituímos na equação original:
Substituindo:
A equação característica é:
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
As raízes são:
Passo 4
Logo a solução geral da equação é:
e derivando para aplicar a segunda condição:
Passo 5
Usando y(1)=0.1 e y’(1)=4.5, obtemos o sistema:
Passo 6
Da primeira equação sai C_1 = 0.1 – C_2. Substituindo na segunda: