Para as próximas funções:
a) Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
b) Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
d) Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
e) Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores
a) 3 x^2 / 3-x
b) (x+2)^32+1
c) x+cos (x)
d) x^1 / 3(x+4)
e) ln (1-ln (x))
f) e^-1x+1
g) e^xx^2-9
h) x tg x -pi / 2
i) e^cos (x)
j) 11-cos (x)-2 pi
k) t raiz[3]t^2-4
l)
m)
n)

Passo 1

O enunciado pede análise completa de monotonicidade, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e esboço do gráfico da função f(x)=(x^2-1)^3. Vamos precisar usar derivadas primeira e segunda para obter essas informações.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira usando a regra da cadeia:
f'(x)=3(x^2-1)^2cdot2x=6x(x^2-1)^2
Para encontrar os críticos, resolvemos f'(x)=0, obtendo as soluções x=0 e x=pm1.

Passo 3

Analisamos o sinal de f'(x) nos intervalos determinados por -infty,-1, (-1,0), (0,1) e (1,infty):
  • Em (-infty,0), temos x<0 e (x^2-1)^2>0, logo f'(x)<0 (decrescente).
  • Em (0,infty), temos x>0, logo f'(x)>0 (crescente).
    Concluímos que f é decrescente em (-infty,0) e crescente em (0,infty). A única troca de sinal em x=0 dá um mínimo local. Nos pontos x=pm1 não há troca de sinal, pois f' muda de zero para zero sem alterar o sinal.

Passo 4

Calculamos a derivada segunda para estudar concavidade:
f''(x)=ddxl[6x(x^2-1)^2r] =6(x^2-1)^2+6xcdot2(x^2-1)cdot2x =6(x^2-1)[(x^2-1)+4x^2] =6(x^2-1)(5x^2-1)
Igualando a zero, obtemos x=pm1 e x=pm1/raiz5. Estudando o sinal de (x^2-1)(5x^2-1), concluímos:
  • Concavidade para cima ( f'>0) em (−infty,−1/raiz5)cup(1/raiz5,∞).
  • Concavidade para baixo ( f'<0) em (−1/raiz5,1/raiz5).
    Os pontos de inflexão são x=pm1/raiz5, com f(pm1/raiz5)=(-4/5)^3=-64/125.

Passo 5

Como f é um polinômio de grau 6, não há assíntotas verticais nem horizontais.

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico:
  • É função par (simétrica em torno do eixo y).
  • Decrescente até x=0, onde tem mínimo local (0,-1), e crescente depois.
  • Pontos de inflexão em l(pm1/raiz5,-64/125r).
  • Cresce para +∞ quando xtopm∞, sem assíntotas.
    Pronto! Com essas informações podemos desenhar o gráfico: começa de cima para baixo, faz ponto de inflexão em -1/raiz5, chega ao mínimo em 0,-1, novo ponto de inflexão em 1/raiz5 e sobe novamente.

Resposta

Monotonicidade: decrescente em (-infty,0), crescente em (0,infty). Extremos locais: mínimo em (0,-1), sem máximo local. Concavidade: côncava para cima em (−infty,−1/raiz5)cup(1/raiz5,∞) e côncava para baixo em (−1/raiz5,1/raiz5). Pontos de inflexão em l(pm1/raiz5,-64/125r). Assíntotas: nenhuma. Esboço: função par com mínimo em x=0, inflexões em x=pm1/raiz5 e cresce para pminfty.

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