Para as próximas funções:
a) Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
b) Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
d) Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
e) Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
a) Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
b) Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
d) Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
e) Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
Passo 1
O enunciado pede análise completa de monotonicidade, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e esboço do gráfico da função
. Vamos precisar usar derivadas primeira e segunda para obter essas informações.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira usando a regra da cadeia:
Para encontrar os críticos, resolvemos
, obtendo as soluções
e
.
Passo 3
Analisamos o sinal de
nos intervalos determinados por
,
,
e
:
- Em
, temos e , logo (decrescente). - Em
, temos , logo (crescente).
Concluímos queé decrescente em e crescente em . A única troca de sinal em dá um mínimo local. Nos pontos não há troca de sinal, pois muda de zero para zero sem alterar o sinal.
Passo 4
Calculamos a derivada segunda para estudar concavidade:
Igualando a zero, obtemos
e
. Estudando o sinal de
, concluímos:
- Concavidade para cima (
) em . - Concavidade para baixo (
) em .
Os pontos de inflexão são, com .
Passo 5
Como
é um polinômio de grau 6, não há assíntotas verticais nem horizontais.
Passo 6
Esboço qualitativo do gráfico:
- É função par (simétrica em torno do eixo
). - Decrescente até
, onde tem mínimo local , e crescente depois. - Pontos de inflexão em
. - Cresce para
quando , sem assíntotas.
Pronto! Com essas informações podemos desenhar o gráfico: começa de cima para baixo, faz ponto de inflexão em, chega ao mínimo em , novo ponto de inflexão em e sobe novamente.
Resposta
Monotonicidade: decrescente em
, crescente em
. Extremos locais: mínimo em
, sem máximo local. Concavidade: côncava para cima em
e côncava para baixo em
. Pontos de inflexão em
. Assíntotas: nenhuma. Esboço: função par com mínimo em
, inflexões em
e cresce para
.