Se f(x)=(x-1)^23+2, ache os valores máximos e mínimos absolutos de f no intervalo 0,9.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os extremos absolutos da função
f(x) = (x-1)^23 + 2
no intervalo fechado [0,9]. O conteúdo necessário é cálculo de derivadas e aplicação do Teorema de Weierstrass (extremos em intervalo fechado ocorrem em pontos críticos ou nas extremidades).

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Usando a regra da potência para (x-1)^2/3, temos
f'(x) = 23(x-1)^-13

Passo 3

Procuramos pontos críticos em que f'(x)=0 ou f' seja indefinida, dentro de (0,9):
  • f'(x)=0 não tem solução, pois tfrac23(x-1)^-1/3 nunca é zero.
  • f'(x) é indefinida em x=1, pois o expoente -tfrac13 faz o denominador zerar.
    Logo, x=1 é ponto crítico interior. Também devemos avaliar as extremidades x=0 e x=9.

Passo 4

Avaliação de f em x=0,1,9:
Para x=0,
f(0) = (0-1)^23 + 2 = 1 + 2 = 3
Para x=1,
f(1) = (1-1)^23 + 2 = 0 + 2 = 2
Para x=9,
f(9) = (9-1)^23 + 2 = 8^23 + 2 = 4 + 2 = 6

Passo 5

Observando o sinal de f'(x), vemos que f decresce em [0,1) e cresce em (1,9]. Portanto, o menor valor ocorre em x=1 e o maior valor em x=9.

Resposta

Mínimo absoluto: f(1)=2
Máximo absoluto: f(9)=6

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