f(x)=c x^2-1x-1, se x<1 c+x, se 1 <= x <= 3 5 x+7, se x>3
b) Para que valor de c temos f contínua em x=1 ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x)=c x^2-1x-1, se x<1 c+x, se 1 <= x <= 3 5x+7, se x>3
Queremos encontrar o valor de que faz com que a função seja contínua em . Isso envolve o estudo de continuidade de funções, especificamente garantindo que não haja “saltos” ou “interrupções” na função naquele ponto.

Passo 2

Para garantir a continuidade em limx to 1^- f(x) = f(1) = limx to 1^+ f(x) , precisamos que o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda seja igual ao limite quando se aproxima de 1 pela direita, e ambos sejam iguais ao valor da função em .
Matematicamente, isso significa:

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o limite pela esquerda, f(x) = x^2 - 1x - 1 . Para x^2 - 1x - 1 = (x - 1)(x + 1)x - 1 = x + 1 (x neq 1) , a função é:
limx to 1^- f(x) = limx to 1^- (x + 1) = 1 + 1 = 2
Simplificando essa expressão:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor da função em f(x) = c + x . Para f(1) = c + 1 , a função é:
Portanto,

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite pela direita, f(x) = c + x . Novamente, para limx to 1^+ f(x) = c + 1 , a função é:
Então,

Passo 6

Para a continuidade, devemos ter:
limx to 1^- f(x) = f(1) = limx to 1^+ f(x)
Substituindo os valores que encontramos:
2 = c + 1 = c + 1

Passo 7

Resolvendo a equação para 2 = c + 1 c = 2 - 1 c = 1 :

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

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