© f(x)=clcos x & se x<0 ; 0 & se x=0 1-x^2 & se x>0 f é contínua em 0 ?

Passo 1

O enunciado define a função f por partes: f(x)=cos x se x<0, f(0)=0 e f(x)=1−x² se x>0. A matéria aqui é continuidade em um ponto, e vamos usar a definição que diz que f é contínua em x=0 se e somente se limxto0f(x)=f(0). Precisamos calcular os limites laterais em 0 e comparar com f(0).

Passo 2

Para o limite pela esquerda, analisamos limxto0^-f(x)=limxto0^-cos x. Como o cosseno é contínuo em todo lugar, temos limxto0^-cos x=cos0=1.

Passo 3

Para o limite pela direita, calculamos limxto0^+f(x)=limxto0^+(1−x^2). A função 1−x^2 também é contínua, logo limxto0^+(1−x^2)=1−0^2=1.

Passo 4

Como os limites laterais coincidem e valem 1, mas f(0)=0, concluímos que limxto0f(x)=1 difere de f(0). Portanto, f não satisfaz a condição de continuidade em 0.

Resposta

Não, f não é contínua em 0, pois limxto0f(x)=1neq f(0)=0.

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