Se
ache
f^prime(x) e
f^prime prime(x) .
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes
e pede
f'(x) e
f''(x) . Vamos derivar cada ramo com as regras usuais e depois verificar o que acontece em
x=1 .
Passo 2
Para
x<1 temos
f(x)=x^2 , então
Para
x>1 temos
f(x)=2x-1 , logo
Passo 3
Precisamos checar se a derivada em
x=1 existe.
A derivada pela esquerda é
A derivada pela esquerda é
e pela direita
Como ambas coincidem,
f é diferenciável em
x=1 e
Passo 4
Agora derivamos
f'(x) em cada intervalo para achar
f''(x) .
Parax<1 ,
f'(x)=2x implica
Para
Para
x>1 ,
f'(x)=2 é constante, então
Em
x=1 não existe
f''(1) porque o comportamento de
f'' à esquerda (
2 ) difere do da direita (
0 ).