Se f(x)=clx^2, & se x <= 1 2 x-1, & se x>1, ache f^prime(x) e f^prime prime(x).

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes
f(x)= x^2, & x<=1, 2x-1, & x>1,
e pede f'(x) e f''(x). Vamos derivar cada ramo com as regras usuais e depois verificar o que acontece em x=1.

Passo 2

Para x<1 temos f(x)=x^2, então
f'(x)=2x(x<1)
Para x>1 temos f(x)=2x-1, logo
f'(x)=2(x>1)

Passo 3

Precisamos checar se a derivada em x=1 existe.
A derivada pela esquerda é
limxto1^-f'(x)=limxto1^-2x=2,
e pela direita
limxto1^+f'(x)=2
Como ambas coincidem, f é diferenciável em x=1 e
f'(1)=2

Passo 4

Agora derivamos f'(x) em cada intervalo para achar f''(x).
Para x<1, f'(x)=2x implica
f''(x)=2(x<1)
Para x>1, f'(x)=2 é constante, então
f''(x)=0(x>1)
Em x=1 não existe f''(1) porque o comportamento de f'' à esquerda ( 2) difere do da direita ( 0).

Resposta

f'(x)= 2x, & x<1, 2, & x=1, 2, & x>1, f''(x)= 2, & x<1, não existe, & x=1, 0, & x>1 ã

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