f(x)=cos ^2 x-2 sen x
no intervalo (0,2 pi)
(b) Identifique as pontos criticos, os máximos e mínimos locais e os pontos de inflexino.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos estudar a função f(x)=cos^2x-2sin x no intervalo (0,2pi). O conteúdo envolve cálculo de derivadas para achar pontos críticos, classificação de máximos e mínimos locais e identificação de pontos de inflexão.

Passo 2

Derivação da função: primeiro encontramos f'(x). Usamos a regra da cadeia em cos^2x e a derivada de -2sin x:
f'(x)=2cos xcdot(-sin x)-2cos x=-2cos x(sin x+1)

Passo 3

Cálculo dos pontos críticos: resolvemos f'(x)=0:
-2cos x(sin x+1)=0
que implica
  1. cos x=0 x=tfracpi2,tfrac3pi2,
  2. sin x+1=0 sin x=-1 x=tfrac3pi2
Logo, os pontos críticos no intervalo são x=tfracpi2 e x=tfracpi2.

Passo 4

Classificação de máximos e mínimos locais: calculamos f''(x) e/ou usamos teste de sinal de f'.
Derivando f'(x)=-2cos x(sin x+1), obtemos
f''(x)=2l(2sin^2x+sin x-1r)
Para x=tfracpi2: f''(tfracpi2)=2(2cdot1+1-1)=4>0, é mínimo local.
Para x=tfrac3pi2: f''(tfrac3pi2)=0, aplicamos teste de sinal de f': ele muda de positivo (antes de 3pi/2) para negativo (depois), logo é máximo local.

Passo 5

Identificação dos pontos de inflexão: resolvemos f''(x)=0:
2(2sin^2x+sin x-1)=0Longrightarrow2sin^2x+sin x-1=0
Chamando t=sin x, temos 2t^2+t-1=0 com raízes t=tfrac12 e t=-1. No intervalo (0,2pi) isso dá:
sin x=tfrac12 x=tfracpi6,tfrac5pi6;
sin x=-1 x=tfrac3pi2.
Analisando mudança de concavidade, só acontece em x=tfracpi6 e x=tfrac5pi6, pois em 3pi/2 a concavidade não muda.

Passo 6

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