Resolva a equação diferencial:
y^prime prime+2 y^prime+y=x^3, y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + y = x^3, y(0)=0, y'(0)=1
O conteúdo envolvido é “equação linear de 2ª ordem com coeficientes constantes”. Para resolver, vamos usar o princípio de superposição: a solução geral é a soma da solução homogênea (resolver a equação característica) e de uma particular (método dos coeficientes indeterminados).

Passo 2

Começamos pela parte homogênea. A equação característica associada é
r^2 + 2r + 1 = 0,
que tem raiz dupla r = -1. Então a solução homogênea é
yh = (C1 + C2 x)e^-x
Aqui usamos a teoria que, para raízes repetidas de multiplicidade 2, multiplicamos a segunda constante por x.

Passo 3

Para achar uma solução particular yp usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo forçante é x^3, tentamos um polinômio de grau 3:
yp = ax^3 + bx^2 + cx + d
Calculamos as derivadas:
yp' = 3ax^2 + 2bx + c,
yp'' = 6ax + 2b,
e substituímos em y'' + 2y' + y = x^3. Isso gera
(6ax + 2b) + 2(3ax^2 + 2bx + c) + (ax^3 + bx^2 + cx + d) = x^3
Coletando coeficientes de cada potência de x, obtemos o sistema
a = 1, 6a + b = 0, 6a + 4b + c = 0, 2b + 2c + d = 0
Resolvendo, encontramos a=1, b=-6, c=18, d=-24. Logo
yp = x^3 - 6x^2 + 18x - 24

Passo 4

Agora a solução geral é
y(x) = yh + yp = C1 e^-x + C2 x e^-x + x^3 -6x^2 +18x -24
Aplicamos as condições iniciais. Primeiro y(0)=0
C1 + (0^3-6·0^2+18·0-24) = C1 -24 = 0 ,Rightarrow, C1 = 24
Em seguida, calculamos
y'(x) = -C1 e^-x + C2 e^-x - C2 x e^-x + 3x^2 -12x +18
Em x=0 e exigindo y'(0)=1, temos
(-C1 + C2 + 18) = 1 ,Rightarrow, -24 + C2 +18 =1 ,Rightarrow, C2 = 7

Resposta

y(x) = e^-x(24 + 7x) + x^3 - 6x^2 + 18x - 24

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