Se
, encontre
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
(definida para todo
) e pede duas coisas:
- Encontrar
, isto é, o número tal que . - Calcular
.
Anotações úteis que já podemos extrair do enunciado:
- A função é um polinômio de grau
, definido em todos os reais. - Para responder, vamos precisar saber se
tem inversa (isto é, se para cada valor existe um único com ).
Passo 2
Vamos verificar se
é estritamente crescente (isso garante unicidade da solução de
e existência da inversa como função). Calculemos a derivada:
Agora, observe que
,
para todo
e ainda há o termo
. Portanto para todo
,
Como a derivada é sempre positiva,
é estritamente crescente em
. Uma função contínua e estritamente crescente é injetora (não toma o mesmo valor em dois pontos diferentes). Além disso, sendo um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo, tem
e
, logo sua imagem é todo
. Conclusão:
é bijetora e possui inversa definida em todo
.
Passo 3
Agora vamos achar
. Por definição,
é o número
tal que
. Precisamos resolver
Uma maneira prática em provas é testar candidatos simples (inteiros pequenos). Teste
:
Logo
satisfaz a equação. Pela monotonicidade (Passo 2) sabemos que a solução é única. Portanto
Passo 4
Agora
. Por definição da função inversa, para todo
no contradomínio de
vale
Como no Passo 2 vimos que
é bijetora (logo
pertence à imagem de
e
existe), aplicando a propriedade acima com
obtemos diretamente