Se f(x)=x^{5}+x^{3}+x, encontre f^{-1}(3) e f\left(f^{-1}(2)\right).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{5}+x^{3}+x (definida para todo x\in\mathbb{R}) e pede duas coisas:
  • Encontrar f^{-1}(3), isto é, o número a tal que f(a)=3.
  • Calcular f\bigl(f^{-1}(2)\bigr).
Anotações úteis que já podemos extrair do enunciado:
  • A função é um polinômio de grau 5, definido em todos os reais.
  • Para responder, vamos precisar saber se f tem inversa (isto é, se para cada valor y existe um único x com f(x)=y).

Passo 2

Vamos verificar se f é estritamente crescente (isso garante unicidade da solução de f(x)=y e existência da inversa como função). Calculemos a derivada:
f'(x)=5x^{4}+3x^{2}+1.
Agora, observe que 5x^{4}\ge 0, 3x^{2}\ge 0 para todo x e ainda há o termo +1. Portanto para todo x\in\mathbb{R},
f'(x)=5x^{4}+3x^{2}+1>0.
Como a derivada é sempre positiva, f é estritamente crescente em \mathbb{R}. Uma função contínua e estritamente crescente é injetora (não toma o mesmo valor em dois pontos diferentes). Além disso, sendo um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo, tem \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty e \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, logo sua imagem é todo \mathbb{R}. Conclusão: f é bijetora e possui inversa definida em todo \mathbb{R}.

Passo 3

Agora vamos achar f^{-1}(3). Por definição, f^{-1}(3) é o número a tal que f(a)=3. Precisamos resolver
a^{5}+a^{3}+a=3.
Uma maneira prática em provas é testar candidatos simples (inteiros pequenos). Teste a=1:
f(1)=1^{5}+1^{3}+1=1+1+1=3.
Logo a=1 satisfaz a equação. Pela monotonicidade (Passo 2) sabemos que a solução é única. Portanto
f^{-1}(3)=1.

Passo 4

Agora f\bigl(f^{-1}(2)\bigr). Por definição da função inversa, para todo y no contradomínio de f vale
f\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=y.
Como no Passo 2 vimos que f é bijetora (logo 2 pertence à imagem de f e f^{-1}(2) existe), aplicando a propriedade acima com y=2 obtemos diretamente
f\bigl(f^{-1}(2)\bigr)=2.

Resposta

f^{-1}(3)=1
f\bigl(f^{-1}(2)\bigr)=2

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