Expresse a quantidade dada como um único logaritmo.
Passo 1
O enunciado pede: “Expresse a quantidade dada como um único logaritmo.” A expressão fornecida é
Informações relevantes (condições para os logaritmos existirem):
- É necessário que os argumentos dos logaritmos sejam positivos. Assim:
-
para ; -
para ; -
para .
-
- Observação útil: se
então e . Portanto a condição principal é .
Passo 2
Relembrando as propriedades de logaritmos que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra de potência: para
e todo real , Aqui é o argumento do logaritmo e é o expoente. - Soma de logaritmos: para
e , - Diferença de logaritmos:
Essas regras são suficientes para transformar uma soma de logaritmos em um único logaritmo.
Passo 3
Aplicar a regra de potência ao primeiro termo:
Explicação: primeiro se usa
e depois multiplica por
.
Passo 4
Trabalhar o segundo bloco
. Primeiro distribuir o
:
Agora aplicar a regra de potência a cada termo:
Portanto o segundo bloco fica
Passo 5
Juntando com o resultado do Passo 3, a expressão original vira
Usando
nos dois primeiros termos:
Agora usar
:
Passo 6
Simplificar o argumento do logaritmo fatorando o polinômio do denominador:
Substituindo:
pois o fator
cancela (válido porque, no domínio considerado,
). Assim a expressão final simplificada é