Expresse a quantidade dada como um único logaritmo.
\frac{1}{3} \ln (x+2)^{3}+\frac{1}{2}\left[\ln x-\ln \left(x^{2}+3 x+2\right)^{2}\right]

Passo 1

O enunciado pede: “Expresse a quantidade dada como um único logaritmo.” A expressão fornecida é
\frac{1}{3}\ln\bigl(x+2\bigr)^{3}+\frac{1}{2}\Bigl[\ln x-\ln\bigl(x^{2}+3x+2\bigr)^{2}\Bigr].
Informações relevantes (condições para os logaritmos existirem):
  • É necessário que os argumentos dos logaritmos sejam positivos. Assim:
    • \,x>0\, para \ln x;
    • \,x+2>0\, para \ln(x+2)^3;
    • \,x^{2}+3x+2>0\, para \ln(x^{2}+3x+2)^2.
  • Observação útil: se x>0 então x+2>0 e x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)>0. Portanto a condição principal é x>0.

Passo 2

Relembrando as propriedades de logaritmos que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra de potência: para a>0 e todo real r, \ln\bigl(a^{r}\bigr)=r\ln a.Aqui a é o argumento do logaritmo e r é o expoente.
  • Soma de logaritmos: para A>0 e B>0, \ln A+\ln B=\ln(AB).
  • Diferença de logaritmos: \ln A-\ln B=\ln\!\left(\frac{A}{B}\right).
Essas regras são suficientes para transformar uma soma de logaritmos em um único logaritmo.

Passo 3

Aplicar a regra de potência ao primeiro termo:
\frac{1}{3}\ln\bigl(x+2\bigr)^{3}=\frac{1}{3}\cdot 3\ln(x+2)=\ln(x+2).
Explicação: primeiro se usa \ln\bigl((x+2)^3\bigr)=3\ln(x+2) e depois multiplica por 1/3.

Passo 4

Trabalhar o segundo bloco \frac{1}{2}\bigl[\ln x-\ln(x^{2}+3x+2)^{2}\bigr]. Primeiro distribuir o \tfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\ln x-\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+3x+2\bigr)^{2}.
Agora aplicar a regra de potência a cada termo:
\frac{1}{2}\ln x=\ln\bigl(x^{1/2}\bigr)=\ln\bigl(\sqrt{x}\bigr),
\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+3x+2\bigr)^{2}=\ln\bigl(x^{2}+3x+2\bigr).
Portanto o segundo bloco fica
\ln\bigl(\sqrt{x}\bigr)-\ln\bigl(x^{2}+3x+2\bigr).

Passo 5

Juntando com o resultado do Passo 3, a expressão original vira
\ln(x+2)+\ln\bigl(\sqrt{x}\bigr)-\ln\bigl(x^{2}+3x+2\bigr).
Usando \ln A+\ln B=\ln(AB) nos dois primeiros termos:
\ln\bigl((x+2)\sqrt{x}\bigr)-\ln\bigl(x^{2}+3x+2\bigr).
Agora usar \ln A-\ln B=\ln\!\left(\dfrac{A}{B}\right):
\ln\!\left(\frac{(x+2)\sqrt{x}}{x^{2}+3x+2}\right).

Passo 6

Simplificar o argumento do logaritmo fatorando o polinômio do denominador:
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).
Substituindo:
\frac{(x+2)\sqrt{x}}{(x+1)(x+2)}=\frac{\sqrt{x}}{x+1},
pois o fator (x+2) cancela (válido porque, no domínio considerado, x+2>0). Assim a expressão final simplificada é
\ln\!\left(\frac{\sqrt{x}}{x+1}\right).

Resposta

\displaystyle \ln\!\left(\frac{\sqrt{x}}{x+1}\right)

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