Resolva cada equação em termos de x :
\ln (\ln x)=1

Passo 1

Enunciado: resolver em termos de x a equação
\ln(\ln x)=1.
O que o problema pede: encontrar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão envolve o logaritmo natural \ln(\cdot).
  • Para que \ln(\ln x) esteja definida é necessário que o argumento interno seja positivo, isto é \ln x>0.
  • A condição \ln x>0 impõe uma restrição no domínio de x que será usada depois.

Passo 2

Entender a operação inversa do logaritmo natural. Conceito importante e simples:
  • A função exponencial e^{y} e o logaritmo natural \ln y são funções inversas entre si. Isso significa que, para qualquer y>0,
\ln(y)=a \quad\Longleftrightarrow\quad y=e^{a}.
Explicando com palavras: se o logaritmo natural de y é a, então y é e elevado a a. A base e é o número irracional \approx 2,71828\ldots. Essa propriedade permite “desfazer” um \ln aplicando e^{(\cdot)}.

Passo 3

Aplicar a inversa do logaritmo à equação dada. Partimos de
\ln(\ln x)=1.
Como e^{(\cdot)} é a função inversa de \ln(\cdot), aplicando e^{(\cdot)} em ambos os lados obtemos
\ln x = e^{1}.
Aqui usei a propriedade explicada: se \ln(\text{algo})=1 então \text{algo}=e^{1}.

Passo 4

Desfazer agora o \ln restantes para isolar x. Da igualdade obtida
\ln x = e,
aplicamos novamente a função exponencial e^{(\cdot)} em ambos os lados e obtemos
x = e^{e}.
Verificação rápida do domínio e da solução: como \ln x = e>0, a condição \ln x>0 fica satisfeita, logo x=e^{e} é admissível. Checando na equação original:
\ln(\ln x)=\ln(\ln(e^{e}))=\ln(e)=1,
portanto a solução está correta.
Uma aproximação numérica (apenas para intuição): \,e\approx 2,71828 e \,e^{e}\approx 15,154262.

Passo 5

Observação sobre unicidade: a função \ln(\ln x) é estritamente crescente no seu domínio x>1 (porque composição de funções crescentes), portanto a equação \ln(\ln x)=1 tem exatamente uma solução, que já encontramos.

Resposta

x=e^{e}

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