Resolva cada equação em termos de
:
Passo 1
Enunciado: resolver em termos de
a equação
O que o problema pede: encontrar todos os valores de
que satisfazem essa igualdade.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão envolve o logaritmo natural
. - Para que
esteja definida é necessário que o argumento interno seja positivo, isto é . - A condição
impõe uma restrição no domínio de que será usada depois.
Passo 2
Entender a operação inversa do logaritmo natural. Conceito importante e simples:
- A função exponencial
e o logaritmo natural são funções inversas entre si. Isso significa que, para qualquer ,
Explicando com palavras: se o logaritmo natural de
é
, então
é
elevado a
. A base
é o número irracional
. Essa propriedade permite “desfazer” um
aplicando
.
Passo 3
Aplicar a inversa do logaritmo à equação dada. Partimos de
Como
é a função inversa de
, aplicando
em ambos os lados obtemos
Aqui usei a propriedade explicada: se
então
.
Passo 4
Desfazer agora o
restantes para isolar
. Da igualdade obtida
aplicamos novamente a função exponencial
em ambos os lados e obtemos
Verificação rápida do domínio e da solução: como
, a condição
fica satisfeita, logo
é admissível. Checando na equação original:
portanto a solução está correta.
Uma aproximação numérica (apenas para intuição):
e
.
Passo 5
Observação sobre unicidade: a função
é estritamente crescente no seu domínio
(porque composição de funções crescentes), portanto a equação
tem exatamente uma solução, que já encontramos.