Faça um esboço gráfico de cada uma das funções dadas. Tente usar apenas o que se conhece do gráfico das funções exponenciais conhecidas.
Passo 1
O enunciado pede: fazer um esboço gráfico da função
Informações dadas (o que temos explicitamente):
Informações dadas (o que temos explicitamente):
- A expressão da função é
- Não há restrição explícita sobre o domínio, logo considerar todos os
Passo 2
Vamos lembrar o comportamento básico da exponencial simples
(isso é só memória útil antes de transformar):
- Domínio:
. - Assíntota horizontal:
(a curva nunca cruza , aproxima-se quando ). - Intercepto em
: , então ponto . - Monotonicidade:
é crescente (valores crescem quando aumenta).
Essas propriedades ajudam a construir transformações.
Passo 3
Colete pontos práticos da referência
para usar depois (são pontos fáceis de lembrar e desenhar):
-
, ponto . -
, ponto . -
, ponto . -
, ponto . -
, ponto .
Anote também a assíntota.
Passo 4
Transformação 1:
é
. Isso corresponde geometricamente a refletir o gráfico de
em relação ao eixo
(troca de
por
). Aplicando isso aos pontos do Passo 3 obtemos pontos para
:
-
vira ? Atenção: refletir em -axis troca o sinal de . Então o ponto vira . Tomando os pontos de listados: -
de corresponde a em .
Mais simples: calcular diretonos mesmos :
-
-
→ ponto . -
→ ponto . -
→ ponto . -
→ ponto . -
→ ponto .
Propriedades de: - Assíntota horizontal:
. - Monotonicidade:
é decrescente (porque o sinal no expoente fez com que, ao aumentar , o valor caia).
Passo 5
Transformação 2: agora aplicar o sinal negativo à função inteira:
. Geometricamente, isso reflete o gráfico de
em relação ao eixo
(multiplicar por
vira
em
). Então transformamos os pontos do Passo 4 trocando o sinal das ordenadas:
-
→ . -
→ . -
→ . -
→ . -
→ .
Passo 6
Agora descrevo as características finais de
que servem para o esboço:
- Domínio:
(nenhuma restrição). - Imagem / intervalo:
. Explicação curta: para todo , então sempre; pode ficar arbitrariamente negativo quando . - Assíntota horizontal:
. A curva aproxima-se de quando , sempre por baixo (valores negativos tendendo a zero). - Intercepto com eixo
: porque . - Comportamento nas extremidades:
-
(aproxima de por valores negativos). -
.
-
- Monotonicidade: a função é estritamente crescente (verificando pontos: em
tem , em tem , em tem , em tem — os valores aumentam quando aumenta).
Passo 7
Passo a passo prático para desenhar o esboço (na prova, rápido e seguro):
- Desenhe os eixos
e e marque a assíntota horizontal com uma linha tracejada. - Marque os pontos calculados:
. - Lembre-se que a curva é suave e estritamente crescente: ligue esses pontos com uma curva contínua que, para a esquerda, desce sem limite e, para a direita, se aproxima de
por baixo. - Verifique: a curva nunca cruza
, cruza o eixo em e fica sempre abaixo do eixo .
Passo 8
Dica amistosa para a prova: em qualquer exponencial do tipo
faça as transformações por etapas: comece de
, aplique substituições no expoente (reflexões/escala em
) e, por fim, multiplique por constantes fora (reflexões/escala em
). Isso evita erros e é rápido de fazer no rascunho.
Resposta
Domínio:
.
Imagem: .
Assíntota horizontal: .
Intercepto: .
Pontos úteis: .
Forma do esboço: curva suave estritamente crescente que tende a quando
e aproxima-se de
por baixo quando
.
Imagem:
Assíntota horizontal:
Intercepto:
Pontos úteis:
Forma do esboço: curva suave estritamente crescente que tende a