Faça um esboço gráfico de cada uma das funções dadas. Tente usar apenas o que se conhece do gráfico das funções exponenciais conhecidas.
y=-2^{-x}

Passo 1

O enunciado pede: fazer um esboço gráfico da função \;y=-2^{-x}\.
Informações dadas (o que temos explicitamente):
  • A expressão da função é \;y=-2^{-x}\.
  • Não há restrição explícita sobre o domínio, logo considerar todos os \;x\in\mathbb{R}\.

Passo 2

Vamos lembrar o comportamento básico da exponencial simples \;2^{x} (isso é só memória útil antes de transformar):
  • Domínio: \;x\in\mathbb{R}.
  • Assíntota horizontal: \;y=0 (a curva nunca cruza \;y=0, aproxima-se quando \;x\to-\infty).
  • Intercepto em \;x=0: \;2^{0}=1, então ponto (0,1).
  • Monotonicidade: \;2^{x} é crescente (valores crescem quando \;x aumenta).
    Essas propriedades ajudam a construir transformações.

Passo 3

Colete pontos práticos da referência \;2^{x} para usar depois (são pontos fáceis de lembrar e desenhar):
  • \;2^{-2}=\tfrac{1}{4}, ponto (-2,\tfrac{1}{4}).
  • \;2^{-1}=\tfrac{1}{2}, ponto (-1,\tfrac{1}{2}).
  • \;2^{0}=1, ponto (0,1).
  • \;2^{1}=2, ponto (1,2).
  • \;2^{2}=4, ponto (2,4).
    Anote também a assíntota \;y=0.

Passo 4

Transformação 1: \;2^{-x} é \;2^{(\,-x\,)}. Isso corresponde geometricamente a refletir o gráfico de \;2^{x} em relação ao eixo y (troca de \;x por -x). Aplicando isso aos pontos do Passo 3 obtemos pontos para \;2^{-x}:
  • (-2,\tfrac{1}{4}) vira (-2,4)? Atenção: refletir em y-axis troca o sinal de x. Então o ponto (a,b) vira (-a,b). Tomando os pontos de \;2^{x} listados:
    • (-2,\tfrac{1}{4}) de \;2^{x} corresponde a (2,\tfrac{1}{4}) em \;2^{-x}.
      Mais simples: calcular direto \;2^{-x} nos mesmos x:
  • \;x=-2:\\\ 2^{-(-2)}=2^{2}=4 → ponto (-2,4).
  • \;x=-1:\\\ 2^{-(-1)}=2^{1}=2 → ponto (-1,2).
  • \;x=0:\\\ 2^{-0}=1 → ponto (0,1).
  • \;x=1:\\\ 2^{-1}=\tfrac{1}{2} → ponto (1,\tfrac{1}{2}).
  • \;x=2:\\\ 2^{-2}=\tfrac{1}{4} → ponto (2,\tfrac{1}{4}).
    Propriedades de \;2^{-x}:
  • Assíntota horizontal: \;y=0.
  • Monotonicidade: \;2^{-x} é decrescente (porque o sinal no expoente fez com que, ao aumentar \;x, o valor caia).

Passo 5

Transformação 2: agora aplicar o sinal negativo à função inteira: \;y=-2^{-x} = -\bigl(2^{-x}\bigr). Geometricamente, isso reflete o gráfico de \;2^{-x} em relação ao eixo x (multiplicar por -1 vira (x,y) em (x,-y)). Então transformamos os pontos do Passo 4 trocando o sinal das ordenadas:
  • (-2,4) (-2,-4).
  • (-1,2) (-1,-2).
  • (0,1) (0,-1).
  • (1,\tfrac{1}{2}) (1,-\tfrac{1}{2}).
  • (2,\tfrac{1}{4}) (2,-\tfrac{1}{4}).

Passo 6

Agora descrevo as características finais de \;y=-2^{-x} que servem para o esboço:
  • Domínio: \;x\in\mathbb{R} (nenhuma restrição).
  • Imagem / intervalo: \;y\in(-\infty,0). Explicação curta: \;2^{-x}>0 para todo \;x, então -2^{-x}<0 sempre; pode ficar arbitrariamente negativo quando \;x\to-\infty.
  • Assíntota horizontal: \;y=0. A curva aproxima-se de \;y=0 quando \;x\to+\infty, sempre por baixo (valores negativos tendendo a zero).
  • Intercepto com eixo y: (0,-1) porque \;y(0)=-2^{0}=-1.
  • Comportamento nas extremidades:
    • \;x\to+\infty:\\ y\to0^{-} (aproxima de \;0 por valores negativos).
    • \;x\to-\infty:\\ y\to-\infty.
  • Monotonicidade: a função é estritamente crescente (verificando pontos: em x=-2 tem -4, em x=-1 tem -2, em x=0 tem -1, em x=1 tem -\tfrac{1}{2} — os valores aumentam quando x aumenta).

Passo 7

Passo a passo prático para desenhar o esboço (na prova, rápido e seguro):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque a assíntota horizontal \;y=0 com uma linha tracejada.
  2. Marque os pontos calculados: (-2,-4),\\ (-1,-2),\\ (0,-1),\\ (1,-\tfrac{1}{2}),\\ (2,-\tfrac{1}{4}).
  3. Lembre-se que a curva é suave e estritamente crescente: ligue esses pontos com uma curva contínua que, para a esquerda, desce sem limite e, para a direita, se aproxima de \;y=0 por baixo.
  4. Verifique: a curva nunca cruza \;y=0, cruza o eixo y em (0,-1) e fica sempre abaixo do eixo x.

Passo 8

Dica amistosa para a prova: em qualquer exponencial do tipo \;y=a\cdot b^{\,cx+d} faça as transformações por etapas: comece de b^{x}, aplique substituições no expoente (reflexões/escala em x) e, por fim, multiplique por constantes fora (reflexões/escala em y). Isso evita erros e é rápido de fazer no rascunho.

Resposta

Domínio: \;x\in\mathbb{R}.
Imagem: \;y\in(-\infty,0).
Assíntota horizontal: \;y=0.
Intercepto: (0,-1).
Pontos úteis: (-2,-4),\\ (-1,-2),\\ (0,-1),\\ (1,-\tfrac{1}{2}),\\ (2,-\tfrac{1}{4}).
Forma do esboço: curva suave estritamente crescente que tende a -\infty quando \;x\to-\infty e aproxima-se de \;y=0 por baixo quando \;x\to+\infty.

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