f(x)=\frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{3 x}
Qual sequencia de regras pode ser usada para derivar f na sua forma atual?
Escolha 1 resposta:
(A) Regra do quociente e depois a regra da cadeia
(B) Regra da cadeia e depois regra da cadeia novamente
(C) Regra do quociente e depois regra do quociente novamente
(D) Regra da cadeia e depois a regra do quociente

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{\sin\bigl(x^{2}\bigr)}{3x}
e pede a sequência de regras de derivação usadas para obter f'(x). O conteúdo é derivadas de funções compostas e quocientes.

Passo 2

Para derivar f reconhecemos um quociente entre
u(x)=\sin\bigl(x^{2}\bigr) \quad\text{e}\quad v(x)=3x.
Portanto aplicamos primeiro a regra do quociente:
f'(x) =\frac{v(x)\,u'(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.

Passo 3

Ainda na aplicação da regra do quociente, precisamos de u'(x). Como
u(x)=\sin\bigl(x^{2}\bigr)
é composição de \sin(t) com t=x^{2}, usamos a regra da cadeia:
u'(x) =\cos\bigl(x^{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) =\cos\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x.

Passo 4

A derivada de v(x)=3x é direta:
v'(x)=3.

Passo 5

Concluímos que a sequência de regras é: primeiro a regra do quociente, depois, ao calcular u'(x), a regra da cadeia.

Resposta

(A) Regra do quociente e depois a regra da cadeia

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