h(x)=\operatorname{sec} ^{2}(4 x)
Qual sequência de regras pode ser utilizada para derivar h na sua forma atual
Escolha 1 resposta:
(A) Regra do produto e depois regra do produto novamente
(B) Regra do produto e depois regra da cadeia
(C) Regra da cadeia e depois regra do produto
(D) Regra da cadeia e depois regra da cadeia novamente

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x)=\operatorname{sec}^{2}(4x)
e pergunta qual sequência de regras de derivação se aplica para chegar à forma derivada. O conteúdo é derivação de função composta.

Passo 2

Escrevemos
h(x) = \bigl(\operatorname{sec}(4x)\bigr)^{2},
ou seja, é a composição de três funções: x\mapsto4x, depois t\mapsto\operatorname{sec} t e por fim u\mapsto u^{2}. Para derivar uma composição dessas camadas usamos a regra da cadeia uma vez para cada composição.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia pela primeira vez ao quadrado:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(4x)\bigr)^{2} =2\,\operatorname{sec}(4x)\,\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec}(4x)\bigr].
Em seguida aplicamos a regra da cadeia de novo dentro de \operatorname{sec}(4x):
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec}(4x)\bigr] =\operatorname{sec}(4x)\,\tan(4x)\,\frac{d}{dx}(4x) =4\,\operatorname{sec}(4x)\,\tan(4x).

Passo 4

Concluímos que derivamos usando a regra da cadeia duas vezes (uma para o quadrado e outra para o \operatorname{sec}). Portanto a sequência é regra da cadeia e depois regra da cadeia.

Resposta

(D) Regra da cadeia e depois regra da cadeia novamente

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