1. f(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{x} \quad c=0

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\frac{\sin x}{x} e o ponto c=0. Podemos interpretar a tarefa da seguinte forma (questão implícita, mas usual): calcular \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} e verificar se f é contínua em c=0. Informações úteis já dadas: a expressão \frac{\sin x}{x} não está definida em x=0 (divisão por zero), logo a função, tal como escrita, não atribui valor em 0.

Passo 2

Antes de calcular o limite, vamos lembrar o que significa limite e continuidade de forma simples e concreta.
Definição prática de limite: \lim_{x\to a}g(x)=L quer dizer que, quando x se aproxima de a (por ambos os lados), os valores g(x) se aproximam de L.
Continuidade em a: a função g é contínua em a se (i) g(a) está definida, (ii) \lim_{x\to a}g(x) existe, e (iii) \lim_{x\to a}g(x)=g(a).
No nosso caso, f(0) não está definida, então para ser contínua em 0 precisaríamos primeiro calcular o limite e, se for um número L, poderíamos pensar em definir f(0):=L.

Passo 3

Apresento e explico a ferramenta principal que vamos usar: o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto / Squeeze).
Enunciado do teorema (forma prática): suponha que, para x próximo de a (exceto possivelmente em a), valem
g(x)\le h(x)\le k(x).
Se \lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}k(x)=L, então \lim_{x\to a}h(x)=L.
O que isso significa em palavras: se uma função h(x) fica “apanhada” entre duas funções que tendem ao mesmo limite L, então h(x) também tende a L. Aqui g,k são as funções de limite conhecido que apertam h.

Passo 4

Vamos obter desigualdades que “apunham” \frac{\sin x}{x}. É um resultado clássico, para x em (0,\tfrac{\pi}{2}), que
\sin x < x < \tan x.
(Interpretacão rápida: vêm de argumentos geométricos no círculo unitário; se não lembrar do detalhe geométrico, aceite esta desigualdade clássica que é estudada normalmente em trigonometria.)
Dividindo toda a desigualdade por \sin x (positivo nesse intervalo) obtemos:
1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}.
Invertendo os três termos (inversão preserva ordem porque todos são positivos) vem
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1 \qquad\text{para }0<x<\tfrac{\pi}{2}.
Portanto, em um intervalo à direita de 0, \frac{\sin x}{x} fica “entre” \cos x e 1.

Passo 5

Aplicamos o Teorema do Confronto usando a desigualdade do Passo 4. Sabemos os limites:
\lim_{x\to 0^+}\cos x = 1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0^+}1 = 1.
Como \cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1 para x>0 perto de 0, o Teorema do Confronto dá
\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 6

Precisamos agora do limite pela esquerda \lim_{x\to 0^-}\frac{\sin x}{x}. Use que \sin(-x)=-\sin x, então
\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{-\sin x}{-x}=\frac{\sin x}{x}.
Ou seja, a função x\mapsto\frac{\sin x}{x} é par (mesma valor para x e -x). Portanto o comportamento à esquerda de 0 é igual ao da direita, e obtemos
\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin x}{x}=1.
Como os limites laterais são iguais, o limite bilateral existe e é
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 7

Conclusões sobre continuidade em 0:
  • A função dada f(x)=\frac{\sin x}{x} não está definida em x=0, logo, na forma original, não é contínua em 0.
  • Contudo o limite existe e vale 1. Isso caracteriza uma descontinuidade removível: podemos “consertar” a função definindo
f(0):=1.
Com essa definição estendida, a nova função fica contínua em 0, porque agora f(0) existe e coincide com \lim_{x\to 0}f(x).

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1
A função f(x)=\frac{\sin x}{x} não está definida em 0 (não é contínua em 0 na forma original); é uma descontinuidade removível e definindo f(0)=1 a função fica contínua em 0.

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