Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. Podemos interpretar a tarefa da seguinte forma (questão implícita, mas usual): calcular
e verificar se
é contínua em
. Informações úteis já dadas: a expressão
não está definida em
(divisão por zero), logo a função, tal como escrita, não atribui valor em
.
Passo 2
Antes de calcular o limite, vamos lembrar o que significa limite e continuidade de forma simples e concreta.
Definição prática de limite: quer dizer que, quando
se aproxima de
(por ambos os lados), os valores
se aproximam de
.
Continuidade em : a função
é contínua em
se (i)
está definida, (ii)
existe, e (iii)
.
No nosso caso, não está definida, então para ser contínua em
precisaríamos primeiro calcular o limite e, se for um número
, poderíamos pensar em definir
.
Definição prática de limite:
Continuidade em
No nosso caso,
Passo 3
Apresento e explico a ferramenta principal que vamos usar: o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto / Squeeze).
Enunciado do teorema (forma prática): suponha que, para próximo de
(exceto possivelmente em
), valem
Enunciado do teorema (forma prática): suponha que, para
Se
, então
.
O que isso significa em palavras: se uma função fica “apanhada” entre duas funções que tendem ao mesmo limite
, então
também tende a
. Aqui
são as funções de limite conhecido que apertam
.
O que isso significa em palavras: se uma função
Passo 4
Vamos obter desigualdades que “apunham”
. É um resultado clássico, para
em
, que
(Interpretacão rápida: vêm de argumentos geométricos no círculo unitário; se não lembrar do detalhe geométrico, aceite esta desigualdade clássica que é estudada normalmente em trigonometria.)
Dividindo toda a desigualdade por (positivo nesse intervalo) obtemos:
Dividindo toda a desigualdade por
Invertendo os três termos (inversão preserva ordem porque todos são positivos) vem
Portanto, em um intervalo à direita de
,
fica “entre”
e
.
Passo 5
Aplicamos o Teorema do Confronto usando a desigualdade do Passo 4. Sabemos os limites:
Como
para
perto de
, o Teorema do Confronto dá
Passo 6
Precisamos agora do limite pela esquerda
. Use que
, então
Ou seja, a função
é par (mesma valor para
e
). Portanto o comportamento à esquerda de
é igual ao da direita, e obtemos
Como os limites laterais são iguais, o limite bilateral existe e é
Passo 7
Conclusões sobre continuidade em
:
- A função dada
não está definida em , logo, na forma original, não é contínua em . - Contudo o limite existe e vale
. Isso caracteriza uma descontinuidade removível: podemos “consertar” a função definindo
Com essa definição estendida, a nova função fica contínua em
, porque agora
existe e coincide com
.
Resposta
A função