3)Mostre que
Passo 1
O enunciado que você me deu é apenas: "Mostre que
". Não há nada mais — não foi dada a expressão de
, nem seu domínio, nem propriedades (continuidade, diferenciabilidade, equação funcional, valores conhecidos, gráfico etc.). As informações relevantes que eu tenho são só essa frase: a conclusão desejada é que
.
Informações que faltam e que são necessárias para resolver mesmo um problema tão simples: definição explícita de ou alguma propriedade que determine
(por exemplo, uma equação funcional como
, ou uma série de potências que define
, ou que
é a função exponencial, ou valores em pontos distintos, etc.). Sem isso não há como demonstrar a afirmação.
Informações que faltam e que são necessárias para resolver mesmo um problema tão simples: definição explícita de
Passo 2
Por que a ausência dessas informações impede resolver? Em matemática uma igualdade sobre uma função (como
) só pode ser provada a partir de dados sobre a própria função. Diferentes funções dão diferentes valores em
: por exemplo, se
então
; se
então
; se
então
. Logo, sem saber qual é
eu não tenho como concluir nada. Dito de outro modo: afirmar que
é uma afirmação sobre a definição ou propriedades de
, então preciso dessas hipóteses.
Passo 3
Para ser útil na sua revisão de prova, vou te mostrar os métodos típicos que aparecem em exercícios quando alguém pede para "mostrar que
". Assim você já fica afiado para o que o enunciado real provavelmente tinha. Cada método vem com uma demonstração didática e passo a passo.
Método A — equação funcional multiplicativa (caso mais comum): suponha que a função satisfaça
Passo a passo:
- Coloque
. Então obtemos
- Como
, a igualdade vira
- Para qualquer
tal que , podemos dividir por e obter . Logo . - Há uma outra possibilidade: se
for identicamente nula ( para todo ), então a igualdade anterior é satisfeita com . Portanto, para concluir a partir dessa equação funcional é necessário também assumir que não é a função zero (ou que existe um ponto onde não é zero), ou assumir continuidade e/ou que assume algum valor conhecido diferente de .
Comentário didático: esse é um argumento muito usado em provas — a chave é testar a equação com
. Sempre experimente substituir variáveis por
quando houver equações funcionais envolvendo adição ou multiplicação de argumentos.
Passo 4
Método B — função dada explicitamente: se o enunciado define
por uma fórmula, a demonstração é direta. Exemplos:
- Se
para alguma função e soubermos , então
- Se
(série de potências) e o termo constante é , então substituindo obtemos
Passos didáticos: quando a função é dada por fórmula, simplesmente avalie a fórmula em
e use propriedades básicas (por exemplo,
para
,
, produtos por zero etc.).
Passo 5
Método C — usando derivada/condição diferencial: às vezes a função é definida por uma equação diferencial, por exemplo
e algum outro dado. A solução geral é
para alguma constante
. Se o problema quer que você mostre
, normalmente já terá a condição extra
ou um valor em outro ponto para determinar
. Exemplo típico:
- Resolver
dá . - Se o enunciado diz que
, então — mas note que aqui a igualdade é uma hipótese, não uma conclusão automática. Portanto, para concluir a partir de uma EDO precisa haver uma condição extra que fixe .
Didática: em problemas com EDOs, preste atenção em condições iniciais; elas são o que permitem determinar constantes e, por consequência, obter valores em pontos específicos como
.
Passo 6
Resumo e orientação prática para a prova (como agir quando aparecer algo do tipo):
- Leia o enunciado inteiro procurando por: definição explícita de
, equação funcional, condição de não nulidade, continuidade, valores em pontos, equação diferencial, ou série de potências. - Experimente substituir
ou em equações funcionais — isso geralmente dá o valor em zero. - Se
for dada explicitamente, simplesmente avalie em . - Se faltar informação (como aqui), não invente: escreva que o enunciado é incompleto e liste o que falta. Em prova objetiva normalmente a hipótese que falta estará presente; em prova discursiva você pode expor os dois casos (por exemplo, função identicamente zero vs. função não nula) e concluir de acordo com as hipóteses.
Resposta
Não é possível demonstrar que
porque o enunciado está incompleto: falta a definição de
ou hipóteses sobre
(por exemplo, uma equação funcional, expressão explícita, continuidade e não nulidade, ou valor conhecido em algum ponto).