Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. Vou entender que o pedido é calcular a derivada de
no ponto
, isto é,
, usando a definição de derivada pelo limite (forma mais básica e comum para esse tipo de exercício). As informações relevantes são:
\n
\n
Pedido: encontrar .
Pedido: encontrar
Passo 2
Relembre a definição de derivada no ponto
: a derivada
é o limite
Aqui
representa um pequeno incremento em
. Essa definição diz exatamente a inclinação da reta tangente à curva no ponto
. Vamos aplicar essa definição à nossa função
.
Passo 3
Escrevo o quociente incremental para
:
Agora vou usar a identidade trigonométrica para soma de argumentos:
Substituindo na fração:
Passo 4
Agrupo termos para poder separar o limite:
A ideia agora é passar ao limite quando
e usar limites trigonométricos clássicos. Vou analisar cada parcela separadamente.
Passo 5
Conhecemos dois limites fundamentais (vou explicar por que eles valem):
-
. Intuição: para pequenos (em radianos) . Formalmente isso pode ser mostrado por desigualdades geométricas ou séries, mas aqui aceitamos esse resultado básico usado em cálculo. -
. Logo .
Além disso, preciso do limite
Uso a identidade
. Então
Quando
temos
, portanto a expressão acima tende a
porque fica proporcional a
. Assim
Passo 6
Voltando ao limite da derivada, aplico os limites às parcelas separadas:
Pelo resultado do passo anterior:
e
Somando, obtemos
Ou seja, para a função
a derivada em um ponto
é
.
Passo 7
Agora substituo
. Sabemos os valores trigonométricos:
Portanto
Passo 8
Como bônus prático (útil na prova): a equação da reta tangente a
em
é dada por
Substituindo
e
e
, obtemos
Isso serve como aproximação linear de
perto de
.
Resposta
Equação da reta tangente: