1. f(x)=\operatorname{sen} x \quad c=\frac{\pi}{6}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sin x e o ponto c=\frac{\pi}{6}. Vou entender que o pedido é calcular a derivada de f no ponto c, isto é, f'\text{(c)}, usando a definição de derivada pelo limite (forma mais básica e comum para esse tipo de exercício). As informações relevantes são:
\,f(x)=\sin x\n
\,c=\frac{\pi}{6}\n
Pedido: encontrar f'\!\left(\frac{\pi}{6}\right).

Passo 2

Relembre a definição de derivada no ponto c: a derivada f'\text{(c)} é o limite
f'\text{(c)}=\lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)-f\text{(c)}}{h}.
Aqui h representa um pequeno incremento em x. Essa definição diz exatamente a inclinação da reta tangente à curva no ponto x=c. Vamos aplicar essa definição à nossa função f(x)=\sin x.

Passo 3

Escrevo o quociente incremental para f(x)=\sin x:
\frac{f(c+h)-f\text{(c)}}{h}=\frac{\sin(c+h)-\sin c}{h}.
Agora vou usar a identidade trigonométrica para soma de argumentos:
\sin(c+h)=\sin c\cos h+\cos c\sin h.
Substituindo na fração:
\frac{\sin(c+h)-\sin c}{h}=\frac{\sin c\cos h+\cos c\sin h-\sin c}{h}.

Passo 4

Agrupo termos para poder separar o limite:
\frac{\sin c\cos h+\cos c\sin h-\sin c}{h} =\frac{\sin c(\cos h-1)}{h}+\frac{\cos c\sin h}{h}.
A ideia agora é passar ao limite quando h\to 0 e usar limites trigonométricos clássicos. Vou analisar cada parcela separadamente.

Passo 5

Conhecemos dois limites fundamentais (vou explicar por que eles valem):
  1. \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1. Intuição: para pequenos h (em radianos) \sin h\approx h. Formalmente isso pode ser mostrado por desigualdades geométricas ou séries, mas aqui aceitamos esse resultado básico usado em cálculo.
  2. \displaystyle\lim_{h\to 0}\cos h=1. Logo \displaystyle\lim_{h\to 0}(\cos h-1)=0.
Além disso, preciso do limite
\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}.
Uso a identidade \cos h-1=-2\sin^2\!\left(\frac{h}{2}\right). Então
\frac{\cos h-1}{h}=-2\cdot\frac{\sin^2\!\left(\frac{h}{2}\right)}{h} =-2\left(\frac{\sin\!\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}\right)^2\cdot\frac{h}{4}.
Quando h\to 0 temos \frac{\sin(h/2)}{h/2}\to 1, portanto a expressão acima tende a 0 porque fica proporcional a h. Assim
\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0.

Passo 6

Voltando ao limite da derivada, aplico os limites às parcelas separadas:
f'\text{(c)}=\lim_{h\to 0}\left[\sin c\cdot\frac{\cos h-1}{h}+\cos c\cdot\frac{\sin h}{h}\right].
Pelo resultado do passo anterior:
\lim_{h\to 0}\sin c\cdot\frac{\cos h-1}{h}=\sin c\cdot 0=0,
e
\lim_{h\to 0}\cos c\cdot\frac{\sin h}{h}=\cos c\cdot 1=\cos c.
Somando, obtemos
f'\text{(c)}=\cos c.
Ou seja, para a função f(x)=\sin x a derivada em um ponto c é \cos c.

Passo 7

Agora substituo c=\frac{\pi}{6}. Sabemos os valores trigonométricos:
\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2},\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
f'\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 8

Como bônus prático (útil na prova): a equação da reta tangente a y=\sin x em x=\frac{\pi}{6} é dada por
y=f\text{(c)}+f'\text{(c)}(x-c).
Substituindo f\text{(c)}=\frac{1}{2} e f'\text{(c)}=\frac{\sqrt{3}}{2} e c=\frac{\pi}{6}, obtemos
y=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x-\frac{\pi}{6}\right).
Isso serve como aproximação linear de \sin x perto de x=\frac{\pi}{6}.

Resposta

f'\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\n
Equação da reta tangente: y=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\!\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)

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