Em um retângulo a medida da base é o dobro da medida da altura. Nessas condições, expresse a área do retângulo em função:
a) da medida de sua altura “h”.
b) da medida de sua base “b”.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Informação dada: a medida da base é o dobro da medida da altura. Peguei essa relação do enunciado. Em símbolos: b é a base e h é a altura, e temos b = 2h.
  • O que o enunciado pede: expressar a área do retângulo
    • (a) em função da altura h;
    • (b) em função da base b.

Passo 2

Relembrando a fórmula básica para a área de um retângulo (aula rápida).
  • Definição: a área A de um retângulo é o produto da base pela altura. Em símbolos:
A = b\cdot h.
Aqui A é a área (unidades de comprimento ao quadrado), b é a medida da base (unidades de comprimento) e h é a medida da altura (unidades de comprimento).

Passo 3

Aplicando a relação dada entre b e h. O enunciado diz que a base é o dobro da altura, ou seja:
b = 2h.
Essa é a informação-chave que vamos usar para escrever A como função de uma única variável.

Passo 4

Parte (a) — expressar a área em função de h.
  • Começo da aplicação: substituir b na fórmula A=b\cdot h pela expressão 2h. Assim:
A(h) = b\cdot h = (2h)\cdot h.
  • Simplificando o produto (multiplicar 2h por h): quando multiplicamos potências da mesma base h, somam-se os expoentes, aqui h\cdot h = h^2. Então:
A(h) = 2h^2.
  • Observação prática: isso significa que, se a altura dobra, a área aumenta por um fator de 2\cdot 2^2 = 8? Cuidado: se h dobra, h^2 aumenta por 4, então A aumenta por 2\cdot 4=8. Foi só um exemplo para ver como a dependência quadrática aparece.

Passo 5

Verificação numérica (exemplo concreto para fixar): se h=3 unidades então b=2h=6 unidades e a área é A=6\cdot 3=18 unidades². Pela fórmula A(h)=2h^2 temos A(3)=2\cdot 3^2=2\cdot 9=18. Bate certinho.

Passo 6

Parte (b) — expressar a área em função de b.
  • Primeiro, escrevo h em termos de b a partir de b=2h. Isolando h:
h = \frac{b}{2}.
  • Agora substituo essa expressão de h na fórmula A=b\cdot h:
A(b) = b\cdot h = b\cdot \frac{b}{2}.
  • Simplificando o produto:
A(b) = \frac{b^2}{2}.

Passo 7

Verificação numérica (outro exemplo): se b=8 unidades então h=\dfrac{b}{2}=4 unidades e a área é A=8\cdot 4=32 unidades². Pela fórmula A(b)=\dfrac{b^2}{2} temos A(8)=\dfrac{8^2}{2}=\dfrac{64}{2}=32. Confere.

Passo 8

Observações finais e domínio: as fórmulas valem para medidas positivas, ou seja h>0 e b>0. As unidades da área são as unidades lineares ao quadrado (se h em metros, A em metros quadrados).

Resposta

\displaystyle A(h)=2h^2
\displaystyle A(b)=\frac{b^2}{2}

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