Em um retângulo a medida da base é o dobro da medida da altura. Nessas condições, expresse a área do retângulo em função:
a) da medida de sua altura “h”.
b) da medida de sua base “b”.
a) da medida de sua altura “h”.
b) da medida de sua base “b”.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Informação dada: a medida da base é o dobro da medida da altura. Peguei essa relação do enunciado. Em símbolos:
é a base e é a altura, e temos . - O que o enunciado pede: expressar a área do retângulo
- (a) em função da altura
; - (b) em função da base
.
- (a) em função da altura
Passo 2
Relembrando a fórmula básica para a área de um retângulo (aula rápida).
- Definição: a área
de um retângulo é o produto da base pela altura. Em símbolos:
Aqui
é a área (unidades de comprimento ao quadrado),
é a medida da base (unidades de comprimento) e
é a medida da altura (unidades de comprimento).
Passo 3
Aplicando a relação dada entre
e
. O enunciado diz que a base é o dobro da altura, ou seja:
Essa é a informação-chave que vamos usar para escrever
como função de uma única variável.
Passo 4
Parte (a) — expressar a área em função de
.
- Começo da aplicação: substituir
na fórmula pela expressão . Assim:
- Simplificando o produto (multiplicar
por ): quando multiplicamos potências da mesma base , somam-se os expoentes, aqui . Então:
- Observação prática: isso significa que, se a altura dobra, a área aumenta por um fator de
? Cuidado: se dobra, aumenta por 4, então aumenta por . Foi só um exemplo para ver como a dependência quadrática aparece.
Passo 5
Verificação numérica (exemplo concreto para fixar): se
unidades então
unidades e a área é
unidades². Pela fórmula
temos
. Bate certinho.
Passo 6
Parte (b) — expressar a área em função de
.
- Primeiro, escrevo
em termos de a partir de . Isolando :
- Agora substituo essa expressão de
na fórmula :
- Simplificando o produto:
Passo 7
Verificação numérica (outro exemplo): se
unidades então
unidades e a área é
unidades². Pela fórmula
temos
. Confere.
Passo 8
Observações finais e domínio: as fórmulas valem para medidas positivas, ou seja
e
. As unidades da área são as unidades lineares ao quadrado (se
em metros,
em metros quadrados).