Resolva os seguintes problemas que integram os conceitos:
Calcule \sin \left(75^{\circ}\right) usando \sin \left(75^{\circ}\right)=\sin \left(45^{\circ}+30^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \sin\left(75^{\circ}\right) e dá a identidade \sin\left(75^{\circ}\right)=\sin\left(45^{\circ}+30^{\circ}\right).
Informações dadas relevantes: \sin\left(75^{\circ}\right) deve ser obtido usando a soma de ângulos \left(45^{\circ}+30^{\circ}\right). Não há outras condições.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de adição para o seno. Esta fórmula diz que, para quaisquer ângulos a e b,
\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.
O que isso significa: para calcular o seno da soma de dois ângulos, multiplicamos seno do primeiro pelo cosseno do segundo e somamos com o produto do cosseno do primeiro pelo seno do segundo. É uma identidade trigonométrica básica que você deve memorizar ou saber derivar a partir da definição de seno e cosseno no círculo trigonométrico.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso com a=45^{\circ} e b=30^{\circ}, obtemos
\sin\left(45^{\circ}+30^{\circ}\right)=\sin\left(45^{\circ}\right)\cos\left(30^{\circ}\right)+\cos\left(45^{\circ}\right)\sin\left(30^{\circ}\right).
Agora precisamos dos valores de \sin e \cos para 45^{\circ} e 30^{\circ}.

Passo 4

Lembretes úteis (vamos justificar rapidamente cada um):
  • Para 45^{\circ} usamos o triângulo retângulo isósceles com catetos iguais a 1. A hipotenusa vale \sqrt{2}. Assim \sin\left(45^{\circ}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos\left(45^{\circ}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
  • Para 30^{\circ} usamos o triângulo retângulo 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ cujos lados proporcionais são 1 (lado oposto a 30^{\circ}), \sqrt{3} (lado oposto a 60^{\circ}) e 2 (hipotenusa). Assim \sin\left(30^{\circ}\right)=\frac{1}{2}, \qquad \cos\left(30^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula do Passo 3:
\sin\left(75^{\circ}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right).
Aqui apenas trocamos cada \sin e \cos pelos seus valores numéricos exatos.

Passo 6

Agrupando fator comum \dfrac{\sqrt{2}}{2} para simplificar (operação algébrica simples: fator comum em soma)
\sin\left(75^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{2}.
Este é um resultado equivalente à forma final; faremos a multiplicação dos denominadores para apresentar a forma usual simplificada na resposta final.

Resposta

\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

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