Se f(x)=\frac{3 x+4 x \mid}{7 x-5|x|}, calcule:
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{3x+4|x|}{7x-5|x|}
e pede o valor do limite quando x tende para +\infty, ou seja:
  • calcular \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x).
    Informações relevantes: há valor absoluto |x| aparecendo na função; isso altera a expressão dependendo do sinal de x. Não se pede outros limites.

Passo 2

Entender o valor absoluto para x grandes positivos. Quando x\to+\infty estamos aproximando por valores positivos, portanto para x>0 vale
|x|=x.
Essa é a observação chave: ao estudar \lim_{x\to+\infty} podemos substituir |x| por x.

Passo 3

Substituir |x|=x na expressão para x>0. Assim, para x>0
f(x)=\frac{3x+4x}{7x-5x}.
Agora somar os termos semelhantes no numerador e no denominador:
3x+4x=7x,\qquad 7x-5x=2x,
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f(x)=\frac{7x}{2x}\quad\text{(para \(x>0\)).}

Passo 4

Explicar a simplificação e a regra do limite. Como x\neq0 para x\to+\infty, podemos cancelar o fator x em numerador e denominador:
\frac{7x}{2x}=\frac{7}{2}.
Uma forma alternativa (útil em provas) é dividir numerador e denominador por x e tomar o limite dos coeficientes: ao dividir por x obtemos \dfrac{7}{2} diretamente. Em geral, para funções racionais com mesmo grau no numerador e no denominador, o limite ao infinito é a razão dos coeficientes líderes.

Passo 5

Concluir o limite. Como para x positivo grande f(x) é identicamente \dfrac{7}{2}, temos
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\frac{7}{2}.
Observação extra (para treinamento): se fosse \lim_{x\to-\infty}, usar-se-ia |x|=-x e o resultado seria diferente (não foi pedido, mas é bom saber que o valor absoluto muda a expressão dependendo do sinal).

Resposta

\dfrac{7}{2}

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