Use o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a derivada
. Informações importantes que temos: o integrando é
, o limite inferior da integral é
(constante) e o limite superior é
(função de
). A tarefa é calcular a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Vou te explicar uma ferramenta essencial que usamos aqui (sem complicar): se você define uma função
por
onde
é constante e
é contínua, então a derivada de
em relação a
é simplesmente o integrando avaliado em
. Em fórmula:
O que isso quer dizer na prática: a derivada da integral com limite superior variável recupera o valor do integrando naquele limite. Note que
é uma variável de integração “dummy” (só serve dentro da integral), e
é a variável da função
.
Passo 3
Aplicando a ideia do passo anterior ao nosso caso, defina a função auxiliar
Pelo resultado do passo 2, a derivada de
em relação a
é
Aqui simplesmente substituímos
por
e trocamos
por
ao derivar.
Passo 4
Agora precisamos lidar com o fato de que nossa
é
composta com
:
Quando você tem uma composição de funções, a regra para derivar é a regra da cadeia: se
, então
Intuição curta: primeiro você deriva a função externa (mantendo a interna como está) e depois multiplica pela derivada da função interna.
Passo 5
No nosso problema a função interna é
. Calculamos
. Já temos
, então avaliando em
obtemos
Simplificando a potência:
logo
Aplicando a regra da cadeia:
Esse é o resultado final; cada passo foi só aplicar a propriedade da derivada de uma integral com limite variável e depois a regra da cadeia.
Passo 6
Dica rápida para a prova: pense sempre em duas etapas quando o limite superior é uma função de
— primeiro “pegar” o integrando no limite (como se o limite fosse a variável da integral), depois multiplicar pela derivada do limite. Exemplo parecido e rápido:
. Você faz do mesmo jeitinho aqui.