Use o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
F(x)=\int_{0}^{x^{2}} \sqrt{1+t^{3}} d t

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x)=\int_{0}^{x^{2}} \sqrt{1+t^{3}}\;dt
e pede para encontrar a derivada F'(x). Informações importantes que temos: o integrando é \sqrt{1+t^{3}}, o limite inferior da integral é 0 (constante) e o limite superior é x^{2} (função de x). A tarefa é calcular a derivada de F em relação a x.

Passo 2

Vou te explicar uma ferramenta essencial que usamos aqui (sem complicar): se você define uma função G por
G(u)=\int_{a}^{u} f(t)\;dt,
onde a é constante e f é contínua, então a derivada de G em relação a u é simplesmente o integrando avaliado em u. Em fórmula:
G'(u)=f(u).
O que isso quer dizer na prática: a derivada da integral com limite superior variável recupera o valor do integrando naquele limite. Note que t é uma variável de integração “dummy” (só serve dentro da integral), e u é a variável da função G.

Passo 3

Aplicando a ideia do passo anterior ao nosso caso, defina a função auxiliar
g(u)=\int_{0}^{u} \sqrt{1+t^{3}}\;dt.
Pelo resultado do passo 2, a derivada de g em relação a u é
g'(u)=\sqrt{1+u^{3}}.
Aqui simplesmente substituímos f(t) por \sqrt{1+t^{3}} e trocamos t por u ao derivar.

Passo 4

Agora precisamos lidar com o fato de que nossa F é g composta com x^{2}:
F(x)=g(x^{2}).
Quando você tem uma composição de funções, a regra para derivar é a regra da cadeia: se F(x)=g(h(x)), então
F'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Intuição curta: primeiro você deriva a função externa (mantendo a interna como está) e depois multiplica pela derivada da função interna.

Passo 5

No nosso problema a função interna é h(x)=x^{2}. Calculamos h'(x)=2x. Já temos g'(u)=\sqrt{1+u^{3}}, então avaliando em u=h(x)=x^{2} obtemos
g'(x^{2})=\sqrt{1+(x^{2})^{3}}.
Simplificando a potência:
(x^{2})^{3}=x^{6},
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g'(x^{2})=\sqrt{1+x^{6}}.
Aplicando a regra da cadeia:
F'(x)=g'(x^{2})\cdot 2x = 2x\sqrt{1+x^{6}}.
Esse é o resultado final; cada passo foi só aplicar a propriedade da derivada de uma integral com limite variável e depois a regra da cadeia.

Passo 6

Dica rápida para a prova: pense sempre em duas etapas quando o limite superior é uma função de x — primeiro “pegar” o integrando no limite (como se o limite fosse a variável da integral), depois multiplicar pela derivada do limite. Exemplo parecido e rápido: \dfrac{d}{dx}\int_{0}^{x^{3}}\sin t\;dt = 3x^{2}\sin(x^{3}). Você faz do mesmo jeitinho aqui.

Resposta

F'(x)=2x\sqrt{1+x^{6}}

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