Se f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x & 1, \\\ x, & 0<x<1,\end{array}\right. e se f(x+2)=f(x), encontre uma fórmula para f(x) no intervalo 1<x<2 e no intervalo 8<x<9.

Passo 1

O enunciado (como veio) diz: f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x & 1, \\\ x, & 0<x<1,\end{array}\right. e que f(x+2)=f(x). As perguntas são: encontrar uma fórmula para f(x) no intervalo 1<x<2 e no intervalo 8<x<9.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há uma definição por partes apresentada; da segunda linha eu entendo claramente que f(x)=x para 0<x<1.
  • A primeira linha da definição por partes está ambígua no enunciado: aparece como valor "x" associado à condição "1,". Isso pode significar, plausivelmente, que f(1)=1 (ou seja, que a definição cobre também o ponto x=1), o que daria f(x)=x em 0<x\le 1. Vou assumir essa interpretação natural: f(x)=x para 0<x\le 1.
  • Temos a periodicidade f(x+2)=f(x), isto é, período 2.
  • O problema pede explicitamente fórmulas para f em dois intervalos: 1<x<2 e 8<x<9.

Passo 2

Breve explicação do que significa f(x+2)=f(x) (para você usar na prova): isso quer dizer que o valor de f se repete a cada 2 unidades no eixo x. Outra maneira prática de aplicar isso é reduzir x ao seu representante dentro de um intervalo padrão de comprimento 2 (por exemplo o intervalo (0,2] ou [0,2)) usando subtrações ou adições de 2; em símbolos, para qualquer x existe um r em [0,2) tal que
r = x - 2\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor
e então
f(x)=f(r).
Para usar essa ideia precisamos conhecer f em todo um intervalo de comprimento 2 (um “período fundamental”). Se conhecemos f apenas em uma parte desse período, só podemos determinar f(x) quando o representante r cair nessa parte conhecida.
No nosso caso, com a interpretação adotada, sabemos f(r)=r quando r\in(0,1]. Mas não temos informação sobre f(r) quando r\in(1,2). Por isso, para um x cujo representante modulo 2 caia em (1,2), os dados fornecidos não bastam para determinar f(x).

Passo 3

Aplicando isso ao intervalo 1<x<2:
  • Se x\in(1,2), então o representante de x módulo 2 é r=x (porque x já está no intervalo [0,2) e, mais precisamente, em (1,2)). Logo r\in(1,2).
  • Mas a definição que temos (assumida) só dá f(r)=r para r\in(0,1]. Não há informação dada sobre f para argumentos em (1,2).
  • Conclusão: com os dados fornecidos não é possível obter uma fórmula única para f(x) quando 1<x<2. Essa parte do período fundamental não foi definida no enunciado, então qualquer valor consistente poderia ser atribuído ali sem violar a periodicidade e a definição dada em (0,1].

Passo 4

Aplicando isso ao intervalo 8<x<9:
  • Note que 8 é múltiplo de 2. Para x\in(8,9) podemos subtrair 8 (quatro períodos de comprimento 2) e usar a periodicidade:
f(x)=f(x-8).
  • Para x\in(8,9) temos x-8\in(0,1). Pelo que sabemos (assumimos) sobre a definição inicial, para qualquer t\in(0,1) tem-se f(t)=t.
  • Portanto, para x\in(8,9) obtemos
f(x)=f(x-8)=x-8.
Essa é uma fórmula explícita e determinada pelos dados.

Resposta

1<x<2: não é possível determinar a fórmula unicamente com os dados fornecidos.
8<x<9:\quad f(x)=x-8

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