Se
e se
, encontre uma fórmula para
no intervalo
e no intervalo
.
Passo 1
O enunciado (como veio) diz:
e que
. As perguntas são: encontrar uma fórmula para
no intervalo
e no intervalo
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Há uma definição por partes apresentada; da segunda linha eu entendo claramente que
para . - A primeira linha da definição por partes está ambígua no enunciado: aparece como valor
associado à condição . Isso pode significar, plausivelmente, que (ou seja, que a definição cobre também o ponto ), o que daria em . Vou assumir essa interpretação natural: para . - Temos a periodicidade
, isto é, período . - O problema pede explicitamente fórmulas para
em dois intervalos: e .
Passo 2
Breve explicação do que significa
(para você usar na prova): isso quer dizer que o valor de
se repete a cada
unidades no eixo
. Outra maneira prática de aplicar isso é reduzir
ao seu representante dentro de um intervalo padrão de comprimento
(por exemplo o intervalo
ou
) usando subtrações ou adições de
; em símbolos, para qualquer
existe um
em
tal que
e então
Para usar essa ideia precisamos conhecer
em todo um intervalo de comprimento
(um “período fundamental”). Se conhecemos
apenas em uma parte desse período, só podemos determinar
quando o representante
cair nessa parte conhecida.
No nosso caso, com a interpretação adotada, sabemos
quando
. Mas não temos informação sobre
quando
. Por isso, para um
cujo representante modulo
caia em
, os dados fornecidos não bastam para determinar
.
Passo 3
Aplicando isso ao intervalo
:
- Se
, então o representante de módulo é (porque já está no intervalo e, mais precisamente, em ). Logo . - Mas a definição que temos (assumida) só dá
para . Não há informação dada sobre para argumentos em . - Conclusão: com os dados fornecidos não é possível obter uma fórmula única para
quando . Essa parte do período fundamental não foi definida no enunciado, então qualquer valor consistente poderia ser atribuído ali sem violar a periodicidade e a definição dada em .
Passo 4
Aplicando isso ao intervalo
:
- Note que
é múltiplo de . Para podemos subtrair (quatro períodos de comprimento ) e usar a periodicidade:
- Para
temos . Pelo que sabemos (assumimos) sobre a definição inicial, para qualquer tem-se . - Portanto, para
obtemos
Essa é uma fórmula explícita e determinada pelos dados.