Determine se a função dada é periódica. Se for, encontre o período fundamental:
y=(-\pi \operatorname{sen} \sqrt{2} x+x \operatorname{sen} \sqrt{2} \pi) / 2 \operatorname{sen} \sqrt{2} \pi

Passo 1

O problema pede para determinar se a função é periódica e, se for, encontrar o período fundamental. A função dada é
y=\frac{-\pi \operatorname{sen}(\sqrt{2}\,x)+x\,\operatorname{sen}(\sqrt{2}\,\pi)}{2\operatorname{sen}(\sqrt{2}\,\pi)}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{a)}\; \text{a função explícita está acima;}çãíá
\text{b)}\; \text{é necessário verificar existência de }T>0\text{ tal que }y(x+T)=y(x)\text{ para todo }x.éáê

Passo 2

Vou simplificar a expressão para ver sua estrutura (isto ajuda a identificar partes periódicas e não periódicas). Separe a fração em duas parcelas:
y=\frac{-\pi \operatorname{sen}(\sqrt{2}\,x)}{2\operatorname{sen}(\sqrt{2}\,\pi)}+\frac{x\,\operatorname{sen}(\sqrt{2}\,\pi)}{2\operatorname{sen}(\sqrt{2}\,\pi)}.
Na segunda parcela o \operatorname{sen}(\sqrt{2}\,\pi) cancela (desde que não seja zero), então obtemos
y=-\frac{\pi}{2\operatorname{sen}(\sqrt{2}\,\pi)}\operatorname{sen}(\sqrt{2}\,x)+\frac{x}{2}.

Passo 3

Antes de seguir, verifique se o cancelamento é válido: precisamos garantir que \operatorname{sen}(\sqrt{2}\,\pi)\neq 0.
Se \operatorname{sen}(\sqrt{2}\,\pi)=0 então \sqrt{2}\,\pi = k\pi para algum inteiro k, o que implicaria \sqrt{2}=k, absurdo porque \sqrt{2} não é inteiro. Logo
\operatorname{sen}(\sqrt{2}\,\pi)\neq 0,
e a simplificação do passo anterior é legítima.

Passo 4

Agora interpreto a estrutura obtida: escrevendo
y=A\operatorname{sen}(\sqrt{2}\,x)+\frac{x}{2},
onde
A=-\frac{\pi}{2\operatorname{sen}(\sqrt{2}\,\pi)}
é uma constante. Note que a primeira parcela A\operatorname{sen}(\sqrt{2}\,x) é uma função periódica (senoidal) e a segunda parcela \frac{x}{2} é uma função linear em x, claramente não periódica (pois cresce sem limite). Vou usar a definição de função periódica: existe T>0 tal que
y(x+T)=y(x)\quad\text{para todo }x.

Passo 5

Suponha, por contradição, que exista um T>0 período de y. Então para todo x vale
0=y(x+T)-y(x)=A\bigl(\operatorname{sen}(\sqrt{2}(x+T))-\operatorname{sen}(\sqrt{2}x)\bigr)+\frac{x+T-x}{2}.
Isto simplifica para
0=A\bigl(\operatorname{sen}(\sqrt{2}x+\sqrt{2}T)-\operatorname{sen}(\sqrt{2}x)\bigr)+\frac{T}{2}.

Passo 6

Use a identidade trigonométrica
\operatorname{sen}(\alpha+\beta)-\operatorname{sen}(\alpha)=2\cos\!\bigl(\alpha+\tfrac{\beta}{2}\bigr)\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\beta}{2}\bigr).
Com \alpha=\sqrt{2}x e \beta=\sqrt{2}T obtemos
\operatorname{sen}(\sqrt{2}x+\sqrt{2}T)-\operatorname{sen}(\sqrt{2}x)=2\cos\!\bigl(\sqrt{2}x+\tfrac{\sqrt{2}T}{2}\bigr)\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\sqrt{2}T}{2}\bigr).
Substituindo na condição de periodicidade:
0=2A\cos\!\bigl(\sqrt{2}x+\tfrac{\sqrt{2}T}{2}\bigr)\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\sqrt{2}T}{2}\bigr)+\frac{T}{2}\quad\text{para todo }x.

Passo 7

A expressão à direita é uma soma de uma função oscilante em x (o termo com \cos(\cdot)) e de uma constante \tfrac{T}{2}. Para que essa soma seja identicamente zero para todo x há duas possibilidades:
  1. \operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\sqrt{2}T}{2}\bigr)=0.
    Isso exige \tfrac{\sqrt{2}T}{2}=k\pi para algum inteiro k, ou seja
    T=k\frac{2\pi}{\sqrt{2}}=k\sqrt{2}\,\pi.
    Mas então o termo oscilante anula-se (fica zero) e resta 0=\tfrac{T}{2}, isto é \tfrac{k\sqrt{2}\pi}{2}=0, o que exigiria k=0. Isso dá T=0, que não é um período positivo. Logo não existe T>0 dessa forma.
  2. A=0.
    Mas A=-\dfrac{\pi}{2\operatorname{sen}(\sqrt{2}\pi)} e já vimos que \operatorname{sen}(\sqrt{2}\pi)\neq 0, além de \pi\neq 0. Portanto A\neq 0. Assim essa possibilidade também é descartada.
Nenhuma das possibilidades leva a um T>0 válido, logo a suposição de existência de período leva a contradição.

Passo 8

Concluímos que não existe T>0 tal que y(x+T)=y(x) para todo x. Portanto a função não é periódica.

Resposta

A função não é periódica.

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