Determine se a função dada é periódica. Se for, encontre o período fundamental:
Passo 1
O problema pede para determinar se a função é periódica e, se for, encontrar o período fundamental. A função dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Vou simplificar a expressão para ver sua estrutura (isto ajuda a identificar partes periódicas e não periódicas). Separe a fração em duas parcelas:
Na segunda parcela o
cancela (desde que não seja zero), então obtemos
Passo 3
Antes de seguir, verifique se o cancelamento é válido: precisamos garantir que
.
Se então
para algum inteiro
, o que implicaria
, absurdo porque
não é inteiro. Logo
Se
e a simplificação do passo anterior é legítima.
Passo 4
Agora interpreto a estrutura obtida: escrevendo
onde
é uma constante. Note que a primeira parcela
é uma função periódica (senoidal) e a segunda parcela
é uma função linear em
, claramente não periódica (pois cresce sem limite). Vou usar a definição de função periódica: existe
tal que
Passo 5
Suponha, por contradição, que exista um
período de
. Então para todo
vale
Isto simplifica para
Passo 6
Use a identidade trigonométrica
Com
e
obtemos
Substituindo na condição de periodicidade:
Passo 7
A expressão à direita é uma soma de uma função oscilante em
(o termo com
) e de uma constante
. Para que essa soma seja identicamente zero para todo
há duas possibilidades:
-
.
Isso exigepara algum inteiro , ou seja Mas então o termo oscilante anula-se (fica zero) e resta, isto é , o que exigiria . Isso dá , que não é um período positivo. Logo não existe dessa forma. -
.
Mase já vimos que , além de . Portanto . Assim essa possibilidade também é descartada.
Nenhuma das possibilidades leva a um
válido, logo a suposição de existência de período leva a contradição.
Passo 8
Concluímos que não existe
tal que
para todo
. Portanto a função não é periódica.
Resposta
A função não é periódica.