Então, é correto afirmar que f é:
Escolha uma opção:
descontínua em x=-1 e também em x=1.
derivável em x=-1 e também em x=1.
derivável em x=1 e descontínua em x=-1.
contínua em x=-1, mas não derivável nesse ponto.
continua em x=1, mas não derivável nesse ponto.
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisar a função definida por partes:
f(x)=ll sen(x+1), & se x <=-1 x, & se -11
Nosso objetivo é determinar se a função $ f $ é contínua e/ou derivável nos pontos $ x = -1 $ e $ x = 1 $. Para isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade e derivabilidade de funções em pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função nos pontos $ x = -1 $ e $ x = 1 $. Uma função é contínua em um ponto se o limite pela esquerda e pela direita existem e são iguais ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
Vamos começar com $ x = -1 $:
Valor da função em $ x = -1 $:
x = -1
Limite quando $ x $ se aproxima de x = -1 pela esquerda ($ x \to -1^- $):
f(-1) = sen(-1 + 1) = sen(0) = 0
Limite quando $ x $ se aproxima de x pela direita ($ x \to -1^+ $):
-1
Como os limites pela esquerda e pela direita não são iguais ($ 0 \neq -1 $), a função $ f $ não é contínua em $ x = -1 $.
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuação em $ x = 1 $:
Valor da função em $ x = 1 $:
x = 1
Limite quando $ x $ se aproxima de x = 1 pela esquerda ($ x \to 1^- $):
f(1) = 1
Limite quando $ x $ se aproxima de x pela direita ($ x \to 1^+ $):
1
Aqui, os limites pela esquerda e pela direita são iguais e iguais ao valor da função ( x to 1^- ), então $ f $ é contínua em $ x = 1 $.
Passo 5
Agora, vamos analisar a derivabilidade da função nos mesmos pontos. Uma função é derivável em um ponto se ela for contínua nesse ponto e se os limites das derivadas laterais pela esquerda e pela direita forem iguais.
Começando com $ x = -1 $:
Como já vimos que $ f $ não é contínua em $ x = -1 $, ela não pode ser derivável nesse ponto.
Passo 6
Vamos verificar a derivabilidade em $ x = 1 $:
Derivada pela esquerda ($ f’(1^-) $):
A função para $ x \leq 1 $ é $ f(x) = x $, cuja derivada é $ f’(x) = 1 $.
x = 1
Derivada pela direita ($ f’(1^+) $):
A função para $ x > 1 $ é $ f(x) = e^{x} - e + 1 $, cuja derivada é $ f’(x) = e^{x} $.
f'(1^-)
Como $ f’(1^-) = 1 $ e $ f’(1^+) = e $, e $ 1 \neq e $, as derivadas laterais não são iguais. Portanto, $ f $ não é derivável em $ x = 1 $.
Resposta
continua em $ x=1 $, mas não derivável nesse ponto.