Questão 2. Calcule os limites abaixo, justificando todos os passos.
(10 pontos)
(10 pontos)
Passo 1
Fala aí! Vamos resolver esse limite juntos. A questão pede para calcular o limite de $ x $ vezes o seno de $ \frac{\pi}{x} $ quando $ x $ tende ao infinito. Esse problema está na área de Cálculo de Limites, envolvendo funções trigonométricas e o comportamento delas quando a variável cresce sem limites. Para resolver, a gente vai precisar entender como o seno se comporta quando seu argumento fica muito pequeno.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o argumento do seno conforme $ x $ cresce. Temos $ \frac{\pi}{x} $. Quando $ x $ tende ao infinito, $ \frac{\pi}{x} $ tende a zero. Então, estamos basicamente olhando para o seno de um número que está se aproximando de zero.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar de uma propriedade muito útil do seno quando o ângulo está próximo de zero. A gente sabe que:
Isso significa que para valores bem pequenos de $ \theta $, $ \sin(\theta) $ é aproximadamente igual a $ \theta $. Vamos usar essa aproximação aqui, já que $ \frac{\pi}{x} $ está se aproximando de zero.
Passo 4
Aplicando essa aproximação no nosso limite, temos:
Então, substituindo na expressão original:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Perceba que o $ x $ no numerador e no denominador se cancelam, deixando apenas $ \pi $.