Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função.
y=raizx e^x^i-x(x+1)^2 / 3

Passo 1

O enunciado apresenta a função y = raizx,e^x^1-x,(x+1)^2/3. O conteúdo é derivação logarítmica, que usa propriedades de logaritmo e derivadas de funções comuns e de potências generalizadas.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
ln y = ln(raizx) + lnl(e^x^1-xr) + lnl((x+1)^2/3r)
Simplificando cada termo:
ln y = tfrac12ln x + x^1-x + tfrac23ln(x+1)

Passo 3

Derivamos em relação a x. No lado esquerdo temos
ddxln y = y'y
No direito, cada termo dá:
  • ddx(tfrac12ln x)=tfrac12x
  • Para x^1-x, definimos u=x^1-x e ln u=(1-x)ln x. Derivando:
u'u=1-xx-ln x
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ddx(x^1-x)=x^1-xl(1-xx-ln xr)
  • ddx(tfrac23ln(x+1))=tfrac23(x+1)

Passo 4

Somando as derivadas:
y'y=12x+x^1-xl(1-xx-ln xr)+23(x+1)

Passo 5

Multiplicando por y e substituindo sua expressão original:
y'=raizx,e^x^1-x,(x+1)^2/3l[12x+x^1-xl(1-xx-ln xr)+23(x+1)r]

Resposta

y'=raizx,e^x^1-x,(x+1)^2/3l[12x+x^1-xl(1-xx-ln xr)+23(x+1)r].

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